من طرف في الهندسة الرياضية، يعتبر خطان أو مستويان (أو خط ومستوى) متعامدان (بالإنجليزية: perpendicular) على بعضهما إذا شكلا زوايا متجاورة متطابقة (شكل حرف T). ففي الشكل 1، القطعة المستقيمة AB متعامدة على القطعة المستقيمة CD في النقطة B، ويعبر عن تعامد المستقيمين AB وCD بعبارة: [1].
جميع الزوايا المتشكلة من تعامد خطين مستقيمين هي زوايا قائمة (قياس الزاوية القائمة يساوي ½ π راديان، أو 90° درجة). وبالعكس فإن أي خطين مستقيمين يشكلان زوايا قائمة فهما متعامدان [1].
[عدل] المعايير الرياضية
في النظام الإحداثي الديكارتي يمكن وصف خطين مستقيمين ل1 ول2 بالمعادلات كما يلي:
ل1: ص = أ×س + ب
ل2: ص = ج×س + د
طالما أن كلاً من الخطين المستقيمين غير رأسي، فإن ميل ل1 هو أ وميل ل2 هو ج. ويكون الخطان المستقيمان ل1 ول2 متعامدان إذا كان حاصل ضرب ميليهما يساوي -1، أي أ × ج = -1 [2].
وفي الهندسة التحليلية، يكون المتجهان متعامدان إذا كان: ميل الأول × ميل الثاني = -1
[عدل] إنشاء العمودي
شكل 2: طريقة إسقاط عمودي (الأزرق) على المستقيم AB من النقطة P
[عدل] إنشاء عمودي على مستقيم من نقطة خارجه
لإسقاط عمودي على المستقيم AB يمر بالنقطة P باستخدام الفرجار والمسطرة نقوم بالخطوات التالية (انظر شكل 2):
(الأحمر): ارسم دائرة مركزها النقطة P لتقطع الخط المستقيم AB في A' وB'، فتكونان متساويتا البعد عن P
(الأخضر): ارسم دائرتين مركزهما النقطتان A' وB' وتمران بالنقطة P. نفترض أن النقطة الأخرى لتقاطعهما هي Q
(الأزرق): صل النقطتين P وQ لتحصل على العمودي المطلوب PQ
شكل 3: إنشاء عمودي على مستقيم من نقطة عليه (B) - خطوة 1
[عدل] إنشاء عمودي على مستقيم من نقطة عليه
لإنشاء عمودي على خط مستقيم من نقطة عليه نقوم بالخطوات التالية [3]:
ارسم دائرة مركزها هذه النقطة (B مثلاً) وتقطع الخط المستقيم في نقطتين A و A' (انظر شكل 3)
من النقطتين A و A' نرسم دائرتين لهما نفس نصف القطر ونصف قطرهما أكبر من المسافة AB
نصل نقطتي تقاطع هاتين الدائرتين لنحصل على العمودي المطلوب
شكل 4: طريقة رسم قاطع عمودي على خط مستقيم
[عدل] إنشاء عمودي على مستقيم في أي موضع منه
لإنشاء عمودي على خط مستقيم في أي موضع منه نقوم بالخطوات التالية (انظر شكل 4):
(الأزرق): من أي نقطتين على الخط المستقيم نرسم دائرتين متقاطعتين
(الأحمر): نصل بين نقطتي تقاطع الدائرتين فنحصل على العمودي المطلوب
شكل 5: الخطان a و b متوازيان ويقطعهما القاطع c
[عدل] بالنسبة للخطوط المتوازية
مقال تفصيلي :مسلمة التوازي
كما هو موضح في شكل 5، إذا كان كل من خطين مستقيمين (a و b) متعامد على خط ثالث (c)، فإن كل الزوايا الناتجة من التقاطع هذا الخط الثالث تكون زوايا قائمة. وبناء على ذلك، فإنه في الهندسة الإقليدية، أي خطين مستقيمين كل منهما عمودي على خط ثالث فهما متوازيان، بناءً على مسلمة التوازي. وبالعكس، فإن أي خط مستقيم عمودي على خطً مستقيمٍ ثانٍ، فإنه يكون عمودياً على أي خط مستقيم موازٍ له.
في شكل 4، كل الزوايا المظللة بالبرتقالي هي زوايا متطابقة، لأن الزوايا المتقابلة بالرأس متطابقة وكذلك الزوايا الداخلية المتبادلة الناشئة من قاطع لخطين متوازيين هي متطابقة. ومن ثم، فإنه إذا كان خطان a و b متوازيان فإن أياً من النتائج التالية تؤدي للنتائج الأخرى كلها:
إحدى زوايا الشكل هي زاوية قائمة
إحدى الزوايا المظللة باللون البرتقالي مطابقة لإحدى الزوايا المظللة باللون الأخضر
الخط المستقيم c عمودي على الخط المستقيم a
الخط المستقيم c عمودي على الخط المستقيم b
[عدل] إيجاد المتعامدات على دالة
[عدل] في الجبر
في الجبر، لأي معادلة خطية (ص = م × س + ب)، فإن ميل المتعامدات عليها هو (-1/م)، المعكوس الجمعي لمقلوب ميل المعادلة الأصلية.
ولإيجاد العمودي على خط مستقيم (ص = م × س + ب) ويمر أيضاً بالنقطة (س، ص) نحل المعادلة ص = (-1/م) × س + ب، بالتعويض عن قيم م وَ س وَ ص المعلومة لإيجاد قيمة ب في معادلة الخط المطلوب.
[عدل] في التفاضل
في التفاضل، لإيجاد العمودي على دالة نحسب مشتقة هذه الدالة، فيكون هذا هو ميله (م) عند أي نقطة (س، ص). فنقوم بحل المعادلة ص = (-1/م) × س + ب، بالتعويض عن قيم م وَ س وَ ص المعلومة لإيجاد قيمة ب في معادلة الخط المطلوب.
[عدل] رمز التعامد
رمز التعامد هو . فمثلاً تعني أن الخط المستقيم AB عمودي على الخط المستقيم CD، وتقرأ: AB عمودي على CD. الكود الخاص بهذا الرمز في مجموعة حروف يونيكود هو U+27C2 وهو ضمن الرموز الرياضية المتنوعة-المجموعة أ (بالإنجليزية: Miscellaneous Mathematical Symbols-A range)، وهو شبيه برمز التاك المقلوبة (U+22A5) لكنه حرف مختلف.
جميع الزوايا المتشكلة من تعامد خطين مستقيمين هي زوايا قائمة (قياس الزاوية القائمة يساوي ½ π راديان، أو 90° درجة). وبالعكس فإن أي خطين مستقيمين يشكلان زوايا قائمة فهما متعامدان [1].
[عدل] المعايير الرياضية
في النظام الإحداثي الديكارتي يمكن وصف خطين مستقيمين ل1 ول2 بالمعادلات كما يلي:
ل1: ص = أ×س + ب
ل2: ص = ج×س + د
طالما أن كلاً من الخطين المستقيمين غير رأسي، فإن ميل ل1 هو أ وميل ل2 هو ج. ويكون الخطان المستقيمان ل1 ول2 متعامدان إذا كان حاصل ضرب ميليهما يساوي -1، أي أ × ج = -1 [2].
وفي الهندسة التحليلية، يكون المتجهان متعامدان إذا كان: ميل الأول × ميل الثاني = -1
[عدل] إنشاء العمودي
شكل 2: طريقة إسقاط عمودي (الأزرق) على المستقيم AB من النقطة P
[عدل] إنشاء عمودي على مستقيم من نقطة خارجه
لإسقاط عمودي على المستقيم AB يمر بالنقطة P باستخدام الفرجار والمسطرة نقوم بالخطوات التالية (انظر شكل 2):
(الأحمر): ارسم دائرة مركزها النقطة P لتقطع الخط المستقيم AB في A' وB'، فتكونان متساويتا البعد عن P
(الأخضر): ارسم دائرتين مركزهما النقطتان A' وB' وتمران بالنقطة P. نفترض أن النقطة الأخرى لتقاطعهما هي Q
(الأزرق): صل النقطتين P وQ لتحصل على العمودي المطلوب PQ
شكل 3: إنشاء عمودي على مستقيم من نقطة عليه (B) - خطوة 1
[عدل] إنشاء عمودي على مستقيم من نقطة عليه
لإنشاء عمودي على خط مستقيم من نقطة عليه نقوم بالخطوات التالية [3]:
ارسم دائرة مركزها هذه النقطة (B مثلاً) وتقطع الخط المستقيم في نقطتين A و A' (انظر شكل 3)
من النقطتين A و A' نرسم دائرتين لهما نفس نصف القطر ونصف قطرهما أكبر من المسافة AB
نصل نقطتي تقاطع هاتين الدائرتين لنحصل على العمودي المطلوب
شكل 4: طريقة رسم قاطع عمودي على خط مستقيم
[عدل] إنشاء عمودي على مستقيم في أي موضع منه
لإنشاء عمودي على خط مستقيم في أي موضع منه نقوم بالخطوات التالية (انظر شكل 4):
(الأزرق): من أي نقطتين على الخط المستقيم نرسم دائرتين متقاطعتين
(الأحمر): نصل بين نقطتي تقاطع الدائرتين فنحصل على العمودي المطلوب
شكل 5: الخطان a و b متوازيان ويقطعهما القاطع c
[عدل] بالنسبة للخطوط المتوازية
مقال تفصيلي :مسلمة التوازي
كما هو موضح في شكل 5، إذا كان كل من خطين مستقيمين (a و b) متعامد على خط ثالث (c)، فإن كل الزوايا الناتجة من التقاطع هذا الخط الثالث تكون زوايا قائمة. وبناء على ذلك، فإنه في الهندسة الإقليدية، أي خطين مستقيمين كل منهما عمودي على خط ثالث فهما متوازيان، بناءً على مسلمة التوازي. وبالعكس، فإن أي خط مستقيم عمودي على خطً مستقيمٍ ثانٍ، فإنه يكون عمودياً على أي خط مستقيم موازٍ له.
في شكل 4، كل الزوايا المظللة بالبرتقالي هي زوايا متطابقة، لأن الزوايا المتقابلة بالرأس متطابقة وكذلك الزوايا الداخلية المتبادلة الناشئة من قاطع لخطين متوازيين هي متطابقة. ومن ثم، فإنه إذا كان خطان a و b متوازيان فإن أياً من النتائج التالية تؤدي للنتائج الأخرى كلها:
إحدى زوايا الشكل هي زاوية قائمة
إحدى الزوايا المظللة باللون البرتقالي مطابقة لإحدى الزوايا المظللة باللون الأخضر
الخط المستقيم c عمودي على الخط المستقيم a
الخط المستقيم c عمودي على الخط المستقيم b
[عدل] إيجاد المتعامدات على دالة
[عدل] في الجبر
في الجبر، لأي معادلة خطية (ص = م × س + ب)، فإن ميل المتعامدات عليها هو (-1/م)، المعكوس الجمعي لمقلوب ميل المعادلة الأصلية.
ولإيجاد العمودي على خط مستقيم (ص = م × س + ب) ويمر أيضاً بالنقطة (س، ص) نحل المعادلة ص = (-1/م) × س + ب، بالتعويض عن قيم م وَ س وَ ص المعلومة لإيجاد قيمة ب في معادلة الخط المطلوب.
[عدل] في التفاضل
في التفاضل، لإيجاد العمودي على دالة نحسب مشتقة هذه الدالة، فيكون هذا هو ميله (م) عند أي نقطة (س، ص). فنقوم بحل المعادلة ص = (-1/م) × س + ب، بالتعويض عن قيم م وَ س وَ ص المعلومة لإيجاد قيمة ب في معادلة الخط المطلوب.
[عدل] رمز التعامد
رمز التعامد هو . فمثلاً تعني أن الخط المستقيم AB عمودي على الخط المستقيم CD، وتقرأ: AB عمودي على CD. الكود الخاص بهذا الرمز في مجموعة حروف يونيكود هو U+27C2 وهو ضمن الرموز الرياضية المتنوعة-المجموعة أ (بالإنجليزية: Miscellaneous Mathematical Symbols-A range)، وهو شبيه برمز التاك المقلوبة (U+22A5) لكنه حرف مختلف.
