من طرف في الرياضيات، إذا شكّل متجهين زاوية قائمة، يسمّيان متعامدين. وليس شرطًا أن يلتقي المتجهين أو أن يتقاطعا، فيمكن لشارع أن يعامد الطريق السريع الذي يمر فوقه، إذا ما كانا يشكّلان زاوية قائمة.
محتويات
[أخف] 1 تعريف
2 في الفضاء الإقليدي
3 تعامد الدوال
4 أمثلة
5 أنظر أيضًا
[عدل] تعريف
في الرياضيات، التعامد (بالإنجليزية: orthogonality) بالنسبة لمتجهين x وy في فضاء الجداء الداخلي V يتحقق إذا كان جداؤهما الداخلي يساوي صفرًا. نمثل هذه الحالة بالتدوين : .
وفي سياق فضاء المتجهات، فإنّ الفضائين الجزئيين A وB في الفضاء V يكوّنان فضائين جزيين متعامدين إذا كان كل متجه في A يعامد كل متّّجه في B. وإذا كان B هو أكبر فضاء جزئي في V يعامد الفضاء الجزئي A يطلق على B اسم المتمّم المعمامد لـA.
كما ويدعى التحويل الخطّي تحويلاً معامدًا إذا كان يحفظ عمليّة الجداء الداخلي، بما معناه أنّه لكل متجهين x وy في الفضاء V، يتحقّق:
.
معنى هذا الشرط هو أنّ التحويل T يحافظ على الزاوية بين المتجهين x وy، كما أنّ طول Tx مساوٍ لطول x.
[عدل] في الفضاء الإقليدي
في الفضاء الإقليدي ثنائي البعد أو ثلاثي البعد، فأن يكون متجهين متعامدين مكافئ لكونهما يكوّنان زاوية قائمة (مقدارها أو بينهما، وعندها يكون جدائهما النقطي (الداخلي) صفر.
في سياق الفضاء الجزئي الإقليدي، فإنّ المتمّم المعامد لخط مستقيم هو المستوي المعامد له، والعكس صحيح. ولأنّ جميع المتجهات في الفضاء الجزئي تبدأ من نقطة المبدأ أو الأصل، فلكل مستقيم أو مستوي متمّم معامد واحد ووحيد.
في الفضاء الإقليدي رباعي الأبعاد، فإنّ المتمّم المعامد للخط المستقيم هو المستوي الفائق (بالإنجليزية: hyperplane)، والعكس صحيح. أمّا المتمّم المعامد لمستوي فهو أيضًا مستوي.
وتدعى مجموعة من المتجهات متعامدة بأزواج إذا كان كل زوج متجهات فيها متعامدًا، وتكوّن هذه مجموعة من المتجهات المستقلّة خطيًا، إذا لم تحتوي على متّجه الصفر. كما وتدعى هذه المجموعة مجموعة متعامدة معيّرة إذا كانت كل المتّجهات فيها معيّرة أي كلّها من متجهات الوحدة.
[عدل] تعامد الدوال
غالبًا ما يعرّف الجداء الداخلي لدالّتين، f وg، بأنّه:
حيث يعرّف الجداء الداخلي بالنسبة لدالّة الترجيح w. من هنا، فتكون الدالتان f وg متعامدتين إذا ما كان جداؤهما الداخلي يساوي صفرًا:
كما ويكتب نظيم دالّة وفقًا للجداء الداخلي أعلاه ودالة الترجيح w على أنّه:
وتكون متتالية الدوال :
متعامدة، إذا تحقّق لكل زوج i,j:
متعامدة معيّرة إذا تحقّق لكل زوج i,j:
الاستاذ عبد الواحد
الطالب صالح
محتويات
[أخف] 1 تعريف
2 في الفضاء الإقليدي
3 تعامد الدوال
4 أمثلة
5 أنظر أيضًا
[عدل] تعريف
في الرياضيات، التعامد (بالإنجليزية: orthogonality) بالنسبة لمتجهين x وy في فضاء الجداء الداخلي V يتحقق إذا كان جداؤهما الداخلي يساوي صفرًا. نمثل هذه الحالة بالتدوين : .
وفي سياق فضاء المتجهات، فإنّ الفضائين الجزئيين A وB في الفضاء V يكوّنان فضائين جزيين متعامدين إذا كان كل متجه في A يعامد كل متّّجه في B. وإذا كان B هو أكبر فضاء جزئي في V يعامد الفضاء الجزئي A يطلق على B اسم المتمّم المعمامد لـA.
كما ويدعى التحويل الخطّي تحويلاً معامدًا إذا كان يحفظ عمليّة الجداء الداخلي، بما معناه أنّه لكل متجهين x وy في الفضاء V، يتحقّق:
.
معنى هذا الشرط هو أنّ التحويل T يحافظ على الزاوية بين المتجهين x وy، كما أنّ طول Tx مساوٍ لطول x.
[عدل] في الفضاء الإقليدي
في الفضاء الإقليدي ثنائي البعد أو ثلاثي البعد، فأن يكون متجهين متعامدين مكافئ لكونهما يكوّنان زاوية قائمة (مقدارها أو بينهما، وعندها يكون جدائهما النقطي (الداخلي) صفر.
في سياق الفضاء الجزئي الإقليدي، فإنّ المتمّم المعامد لخط مستقيم هو المستوي المعامد له، والعكس صحيح. ولأنّ جميع المتجهات في الفضاء الجزئي تبدأ من نقطة المبدأ أو الأصل، فلكل مستقيم أو مستوي متمّم معامد واحد ووحيد.
في الفضاء الإقليدي رباعي الأبعاد، فإنّ المتمّم المعامد للخط المستقيم هو المستوي الفائق (بالإنجليزية: hyperplane)، والعكس صحيح. أمّا المتمّم المعامد لمستوي فهو أيضًا مستوي.
وتدعى مجموعة من المتجهات متعامدة بأزواج إذا كان كل زوج متجهات فيها متعامدًا، وتكوّن هذه مجموعة من المتجهات المستقلّة خطيًا، إذا لم تحتوي على متّجه الصفر. كما وتدعى هذه المجموعة مجموعة متعامدة معيّرة إذا كانت كل المتّجهات فيها معيّرة أي كلّها من متجهات الوحدة.
[عدل] تعامد الدوال
غالبًا ما يعرّف الجداء الداخلي لدالّتين، f وg، بأنّه:
حيث يعرّف الجداء الداخلي بالنسبة لدالّة الترجيح w. من هنا، فتكون الدالتان f وg متعامدتين إذا ما كان جداؤهما الداخلي يساوي صفرًا:
كما ويكتب نظيم دالّة وفقًا للجداء الداخلي أعلاه ودالة الترجيح w على أنّه:
وتكون متتالية الدوال :
متعامدة، إذا تحقّق لكل زوج i,j:
متعامدة معيّرة إذا تحقّق لكل زوج i,j:
الاستاذ عبد الواحد
الطالب صالح
