من طرف الجََــبْــر
معادلة الجبر تشمل حروفًا تمثل أرقامًا مجهولة.
الجََــبْــر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم.
ويُرمَز للأعداد المجهولة في الجبر بحروف مثل س أو ص. وفي بعض المسائل يمكن استبدال عدد واحد فقط بالرمز. وكمثال بسيط نلاحظ أنه حتى تصبح الجملة س + 3 = 8 صحيحة فيجب أن نعوّض عن س بالعدد 5 وذلك لأن 5 + 3 = 8.
أمّا في بعض المسائل الأخرى فإنه يمكن التعويض عن الرمز بعدد أو أكثر. على سبيل المثال، حتى نحقق صحة الجملة الجبرية س + ص = 12 قد نضع س تساوي 6 وص تساوي 6، أو س تساوي 4، و ص تساوي 8. في مثل هذه الجمل الجبرية، تستطيع الحصول على قيم عديدة لـ س تجعل الجمل صحيحة إذا أعطيْتَ لـ ص قيمًا مختلفة.
ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط. فعلى سبيل المثال لنفرض أن طائرة تقطع مسافة 1,710كم في أربع ساعات إذا كان الطيران في اتجاه هبوب الريح ولكنها تقطع 1,370 كم في خمس ساعات إذا كان الطيران بعكس اتجاه هبوب الريح. باستخدام الجبر نستطيع أن نجد سرعة الطائرة وسرعة الريح.
--------------------------------------------------------------------------------
مصطلحات مستخدمة في الجبر
--------------------------------------------------------------------------------
الأس عدد يوضع فوق عدد أو متغير من الجهة اليسرى ليدل على عدد المرات التي يُستخدم فيها كعامل.
إشارات التجميع الهلالان ( )، الحاصرتان { }، المعقوفان [ ]. وتستخدم في الجبر لحصر الصيغ الجبرية.
التربيعي أو من الدرجة الثانية متغير مضروب في نفسه ¸أي مستخدم كعامل مرتين·.
ثنائي الحد عبارة في الجبر تتكون من حدين بينهما الرمز + أو الرمز -.
الثابــــت عدد أو متغير مجاله مجموعة مكونة من عنصر واحد.
جذور المعادلة الأعداد التي تجعل المعادلة تقريراً صائبًا عند إحلالها محل المتغيرات في المعادلة.
الحـــد جزء من صيغة رياضية يرتبط مع حدود أخرى باستخدام عملية الجمع أو الطرح.
الصيغة عدد أو متغير أو أعداد ومتغيرات مرتبطة مع بعضها بعمليات مثل الجمع، الطرح، الضرب، القسمة.
العوامل صيغتان أو أكثر مضروبة ببعضها.
القيمة المطلـقة لعدد ما هي مقدار العدد موجبا كان أو سالبًا.
متعدد الحدود عبارة مكونة من حدين أو أكثر.
المعادلة جملة رياضية تعبر عن صيغتين متساويتين.
المعامل ما يضرب به متغير أو عدد وعادة يكتب قبل المتغير.
المتغـير رمز جبري عادة ما يكون رمزا ويمكن التعويض عنه بعدد أو أكثر.
وحيد الحد عبارة مكونة من حاصل ضرب عدد بمتغير.
تعلُّم الجبر
يرمز العدد في الحساب لمجموعة تحتوي على ذلك العدد من الأشياء، فمثلاً العدد 5 دائمًا يرمز لمجموعة تحتوي على 5 أشياء. أما في الجبر فإن الرموز قد تُستبدل بالأعداد، غير أنه من الممكن أن يحل عدد أو أكثر محل رمز واحد. وحتى نتعلم الجبر يجب علينا أن نتعلّم أولاً كيف تُستخدم الرموز محل الأعداد. ومن ثم كيفية إنشاء الجمل الجبرية عن الأعداد.
المجموعات والمتغيرات. هناك علاقة بين الرموز في الجبر ومجموعات الأعداد. فمن المؤكد أن لكل منا بعض الإلمام بمجموعات الأشياء، مثل مجموعات الكتب، ومجموعات الطوابع البريدية، ومجموعات الصحون. ومجموعات الأعداد لاتختلف عن هذه المجموعات كثيراً. وإحدى الطرق لوصف مجموعات الأعداد في الجبر هي أنْ نقوم باستخدام أحد الحروف الأبجدية مثل ص كاسم لها. ثم نصف أعداد هذه المجموعة بحصرها بين قوسين من الشكل { }. فمثلاً يمكن التعبير عن مجموعة الأرقام من 1 إلى 9 كالتالي:
أ = {1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9} .
أما مجموعة الأعداد الفردية التي تقل عن 20 فهي:
ب = {1، 3، 5، 7، 9، 11، 13، 15، 17، 19}.
وهذان المثالان يبينان نماذج من المجموعات المستخدمة في الجبر.
لنفترض أن أعمار أربعة أشخاص كانت على التوالي: 12، 15، 20، 24 عاما.
عندها يمكن كتابة هذه الأعمار كمجموعة أعداد.
أ = {12، 15، 20، 24}.
كم يكون عمر كل منهم بعد ثلاث سنوات ؟ إنّ إحدى طرق الإجابة على هذا السّؤال تكون بأن نكتب 12 + 3، 15 + 3، 20 + 3 و 24 + 3. نلاحظ أن العدد 3 مكرر في كل من ¸الصيغ· الأربع. في الجبر نستطيع أن نعبر عن جميع الصيغ السابقة بصيغة مهمة واحدة هي م + 3 حيث م هو أي عدد من أعداد المجموعة أ. أي أنه يمكن استبدال أي من الأعداد 12، 15، 20 أو 24 بالرمز م. ويُسمّى الرمز م المتغيِّر، وتُسمَّى المجموعة أ مجال هذا المتغير، أما العدد 3 في الصيغة م + 3 فيسمى الثابت وذلك لأن قيمته واحدة دائما. ويُعرّف المتغيِّر في الجبر بأنه رمز يمكن التعويض عنه بعدد أو أكثر ينتمي إلى مجموعة .
التقارير والمعادلات. يُعرَف التقرير في الرياضيات بأنه جملة خبرية قد تكون صائبة أو خاطئة. وبمقدورنا تمثيل التقارير الرياضية بلغتنا اليومية وأمامنا هنا تقرير ناقص:
إن ....... هو الذي اخترع جهاز الهاتف. هذه العبارة ليست صائبة وليست خاطئة. ولكن لو وضعنا كلمة بل في الفراغ نحصل على العبارة "إن بل هو الذي اخترع جهاز الهاتف" وهذه العبارة صائبة. من الممكن أيضاً أن نستخدم متغيرًا لكتابة تقرير، كأن نكتب:
¸ص دولة يحدها البحر الأسود·
فنحن نستطيع أن نعوض عن المتغير ص بعناصر مجاله. أي نستطيع استبدال أسماء تؤدي إلى تقارير صائبة أو تقارير خاطئة بالمتغيِّر. فمثلاً:
¸المجر دولة يحدها البحر الأسود· تقرير خاطئ، إذ في الواقع لايكون مثل هذا التقرير صائبًا إلا إذا عوضنا عن المتغير ص بإحدى الدول: بلغاريا أو رومانيا، أو تركيا. فيكون التقرير ¸تركيا دولة يحدها البحر الأسود· مثلا صائبًا. وتسمى التعويضات التي تجعل التقرير صائبا جذوراً وتُسمّى المجموعة المكونة من جميع الجذور بمجموعة الحل. ومجموعة حل المثال السابق هي.{بلغاريا، رومانيا، تركيا}. وفي الجبر لانستخدم الأسماء للتعويض عن المتغيرات ولكن نستخدم الأعداد.
وتُعرف المعادلات على أنها جمل رياضية تعبر عن تساوي صيغتين. فالعبارة:
س + 7 = 12
على سبيل المثال، معادلة سهلة تعني ¸حاصل جمع العدد 7 مع عدد ما يساوي12·. ولحل هذه المعادلة نستطيع أن نقوم بالتعويض عن س بأعداد مختلفة حتى نحصل على عدد يجعل من المعادلة تقريراً صائبًا. فإذا عوضنا عن س بالعدد 5 تصبح المعادلة تقريرًاً صائبًا، وإذا عوضنا عن س بأي عدد آخر فإن المعادلة تصبح تقريرًا خاطئاً. إذن مجموعة حل هذه المعادلة هي {5} وهذه المجموعة تحتوي على جذر واحد فقط.
ومن الممكن أن يكون للمعادلة أكثر من جذر:
س ² + 18 = 9 س.
العــدد 2 أعــلى المتغيـر الأول س يعني أن العدد الممثل بالمتغير س هـو عــدد مربع، أي أنه عــدد مضروب في نفسـه مــرة واحدة. انظر: المربع. وفي هذه المعادلة نستطيع أن نعوض عن س بالعدد 3:
3 × 3 + 18 = 9 × 3
9 + 18 = 27
27 = 27
ونستطيع أيضا أن نعوض عن س بالعدد 6:
6 × 6 + 18 = 9 × 6
36 + 18 = 54
54 = 54
أمّا أي تعــويض آخـــر عن س فيجعــل المعادلة تقريراً خاطئاً. إذن 3 و 6 هما جذرا المعادلة. ومن ثم فإن مجموعة الحل هي {3 ، 6}.
كذلك توجد معادلات ليس لها جذور:
س = س + 3
إذا عوضنا عن س بأي عدد، فإن هذه المعادلة تصبح تقريراً خاطئاً، ومجموعة حلها تسمى المجموعة الخالية ويرمز لها بالرمز { }.
ولبعض المعادلات عدد غير منته (لامحدود) من الجذور.
(س + 1)² = س² + 2 س + 1
في هذه المعادلة إذا عوضنا عن س بأي عدد فإننا نحصل على تقرير صائب، ومجموعة حلها تحتوي على جميع الأعداد.
أربع طرق لحل المعادلات الجبرية
حل المعادلات. تعتبر المعادلة على الصورة س = 5 من أبسط أنواع المعادلات. لحلها، نعوض عن س في الطرف الأيمن من علامة المساواة بالعدد 5 فنحصل على 5 = 5. والمعادلات مثل 3 س - 4 = س + 6 أكثر تعقيداً من سابقتها. ولكن هناك طرقاً عديدة في الجبر يمكن استخدامها لتحويل المعادلات المعقدة إلى أخرى مبسطة، وباستخدام هذه الطرق نستطيع الوصول إلى معادلة بسيطة يسهل حلها.
لكي نبدأ في حل معادلة يجب أن نفترض أولا أنه يوجد لها حل، أي يجب أن نفرض أننا نستطيع التعويض عن المتغير بعدد يجعل من المعادلة تقريرًا صائبًا.
وباستخدام صورة الميزان نستطيع أن نصف طرق حل المعادلات، حيث كلمة ميزان هنا تعني قضيبًا مستويا له حامل في الوسط، وتوجد في كل طرف منه كفة ميزان. ومتى كانت الأوزان في كفتيه متساوية فإن القضيب يبقى مستويًا. أما إذا كان الوزن في إحدى الكفتين أثقل من الأخرى فإن أحد طرفي القضيب يميل إلى أسفل. انظر: الميزان ذو الكفة.
وتمثل المعادلة تماماً وزنين موضوعين في كفتي ميزان. فعلى سبيل المثال، في المعادلة 3 س + 2 = 11 نستطيع أن نعتبر الحد 3 س + 2 أحد الوزنين، والعدد 11 الوزن الآخر فنضع 3 س + 2 في كفة و 11 في الكفة الأخرى.
وتعني المعادلة 3 س + 2 = 11 أن ثلاثة أمثال عدد ما مضافاً إليه العدد 2 يساوي العدد 11، ولذلك يجب أن نفترض أنّ أيا من الطرفين 3 س + 2 أو 11 يوازن الطرف الآخر.
الطرح إذا كان لدينا وزنان متساويان على الميزان وأنقصنا كميتين متساويتين من طرفي الميزان فإن قضيب الميزان يبقى مستوياً. وباستخدام لغة الجبر: إذا طرحنا نفس العدد من طرفي معادلة فإن الطرفين الناتجين يكونان متساويين وتكون جميع جذور المعادلة الأصلية جذوراً للمعادلة الجديدة. وهذا يعني أننا نستطيع طرح العدد 2 من طرفي المعادلة 3 س + 2 = 11 لنحصل على:
3 س + 2 - 2 = 11 - 2
3 س = 9
وتكافئ المعادلة 3 س = 9 المعادلة 3 س + 2 = 11. وأي حل لإحداهما يعد حلاً للأخرى.
القسمة. لحل المعادلة 3 س = 9 نحتاج لتعلم قاعدة أخرى مستنتجة من الميزان. إذا كان لدينا وزنان متساويان على الميزان وأخذنا أجزاء متساوية من كل وزن فإن الأجزاء المتبقية تتساوى في الوزن. وتعني القسمة تجزئة العدد إلى أجزاء متساوية. إذا قسمنا طرفي معادلة على العدد نفسه بشرط ألا يكون العدد المقسوم عليه صفرًا فسيتساوى الطرفان الناتجان. وتكون جذور المعادلة الأصلية جذوراً للمعادلة الجديدة. وباستخدام هذه القاعدة نستطيع قسمة طرفي المعادلة 3 س = 9 على 3 لنحصل على:
3/3 س = 9/3
س = 3
إذن مجموعة الحل للمعادلات الواردة أعلاه بدءًا بالمعادلة 3 س + 2 = 11 هي {3} . ويمكنك أن تبرهن هذه بأن تضع 3 محل س في المعادلة الأصلية: فتصبح
3 × 3 + 2= 9+2 أو 11 = 11.
لنلاحظ أنه ليس باستطاعتنا أن نقسم طرفي معادلة على العدد صفر، إذ إن مثل هذه القسمة تقودنا إلى تناقضات. وتسمى الصيغة صفر - صفر في الرياضيات صيغة غير معينة. أي أننا لانستطيع الحصول على إجابة محددة لها.
الجمع. هذه قاعدة أخرى تُستخدم في حل المعادلات البسيطة، وتنص على الآتي: إذا أضفنا العدد نفسه لكل طرف من طرفي المعادلة فإننا نحصل على طرفين جديدين متساويين. ومن ثم فإن جذور المعادلة الأصلية تكون جذوراً للمعادلة الجديدة. فعلى سبيل المثال، لحل المعادلة س - 6 = 18 نستطيع إضافة 6 إلى طرفي المعادلة. المجموع س - 6 + 6 لا يختلف عن س +0 أي س كما سنرى لاحقاً و عليه فإن
س - 6 + 6 = 18 + 6
س = 24
إذن مجموعة الحل للمعادلة هي {24}.
الضرب. القاعدة الأخيرة المستخدمة في حل المعادلات البسيطة تنص على مايلي: إذا ضربنا كل طرف من طرفي المعادلة في نفس العدد فإن الطرفين الناتجين يكونان متساويين (الضرب في العدد صفر بالطبع مسموح به ولكن من الواضح أنه غير مفيد هنا). ومن ثم فإن جذور المعادلة الجديدة مساوية لجــذور المعادلة الأصلية. فعلى سبيل المثال، بضرب طرفي المعادلة 1/4 س = 5 في العدد 4 نحصل على 4× (1/4) س = 4× 5. أي س = 20. وفيما يلي توضيح للقواعد الأربع:
2/3 س - 4 = 1/4 س + 6
من المؤكد أن حل معادلة تحتوي على أعداد صحيحة أسهل من حل معادلة تحتوي على أعداد كسرية. ولذا نقوم بالتخلص من الكسرين 2/3 و 1/4 وذلك بضرب طرفي المعادلة في العدد 12 لنحصل على:
8 س - 48 = 3 س + 72
بإضافة العدد 48 إلى طرفي المعادلة نحصل على:
8 س = 3 س + 120.
وبطرح 3 س من طرفي المعادلة نحصل على:
5 س = 120
وأخيراً بقسمة طرفي المعادلة على العدد 5 نحصل على:
س = 24
إذن مجموعة الحل هي {24}.
نستطيع التحقق من صحة الحل، بالتعويض عن س في المعادلة الأصلية بالعدد 24:
2/3 × 24 - 4 = 1/4 × 24 + 6
16 - 4 = 6 + 6
12 = 12
وبما أن استخدام طرق حل المعادلة لم يؤد إلى أي حل آخر، فإن 24 هو الحل الوحيد للمعادلة.
قياس درجات الحرارة
الأعداد الموجبة والأعداد السالبة. في علم الحساب، نستطيع جمع وضرب وقسمة الأعداد الطبيعية ولكننا لانستطيع دائما طرح هذه الأعداد. فمثلاً 3 - 5 لاتعني شيئا في علم الحساب. غير أن الجبر استطاع أن يتغلب على هذه المشكلة وذلك بتوسيع نظام الأعداد الطبيعية. ففي الحساب المعتاد تمثل الأعداد المـقادير فقـط، فتحـدثنا عن كم من الأشياء في مجموعة. ولكن كثيراً من القياسات التي نواجهها في حياتنا اليومية تهتم بمعرفة كل من المقدار والاتجاه. ومن الأمثلة الجيدة على ذلك قياس درجات الحرارة حيث هناك درجات حرارة فوق الصفر وأخرى تحت الصفر. في الجبر نستخدم أعدادًا تبين الاتجاه .
وباستطاعتنا توضيح هذه الأعداد الجديدة على خط كما يلي.
نأخذ العدد صفر ليكون نقطة الأصل أو البداية. النقاط الواقعة على يسار الصفر تعين مسافة أو اتجاهًا موجبًا، هذه الأعداد تمثل درجات الحرارة فوق الصفر في المثال السابق. أما النقاط الواقعة على يمين الصفر فإنها تدل على مسافة أو اتجاه سالب، وهذه الأعداد تمثل درجات الحرارة تحت الصفر. فالنقطة أ لا تدل على العدد 1 فحسب ولكن + 1، أي العدد الموجب 1. وتدل الإشارة + على الاتجاه الموجب. كذلك تدل النقطة ب على العدد - 1، أي العدد السالب 1 وليس العدد 1 فقط. وتدل الإشارة (-) على الاتجاه السالب. وتسمى الأعداد الممثلة على خط الأعداد بالأعداد الموجبة والأعداد السالبة. ويمكن استخدام هذه الأعداد في حياتنا اليومية لتدل مثلاً على درجات الحرارة، عدد الأمتار فوق مستوى أو تحت مستوى سطح البحر، التغير في أسعار سوق الأسهم، الأرباح التجارية، وكثير من الاستخدامات الأخرى. ومقابل كل عدد موجب يوجد عدد سالب مساو له في المقدار، فالعدد 7 على سبيل المثال يعني دائما سبعة أشياء موجباً كان أم سالبا. وتعرف القيمة المطلقة لعدد بأنها القيمة الحسابية لذلك العدد. وبمقدورنا جمع وطرح وضرب وقسمة الأعداد الموجبة والسالبة معا ولكن بقواعد تختلف عن تلك المستخدمة على الأعداد في الحساب المعتاد.
الجمع. يمكن توضيح عملية الجمع بجمع العدد + 5 والعدد - 7، أي (+5) + (-7). نستطيع إجراء عملية الجمع هذه على خط الأعداد كالتالي.
خط الأعداد
لجمع العددين (+5) و (+7) على خط الأعداد نبدأ من نقطة الأصل، ونحسب خمس نقاط إلى اليسار ثم سبعاً أخرى بعد ذلك لنحصل على العدد (+12). ولجمع العددين (+5) و (-7) نبدأ من الصفر ونحسب خمس نقاط إلى اليسار لنحصل على العدد الأول، وهو (+5) وبما أن العدد الثاني (-7) نتجه بعد ذلك إلى اليمين سبع نقاط فننتهي يمين الصفر عند العدد (-2). عندئذ يكون (+5) + (-7) = -2. وتسمى الأعداد التي تحمل إشارة سالب أو إشارة موجب عادة بالأعداد ذات الإشارة.
ولجمع عددين لهما إشارة نتبع القاعدة التالية المبينة على خطوتين:
أولا: إذا كان العددان متفقين في الإشارة فإننا نجمع قيمتيهما المطلقة ونعطي الناتج الإشارة نفسها.
فعلى سبيل المثال (+5) + (+
= (+13) و (-5)+ (- = (-13).
ثانيًا: إذا كان العددان مختلفين في الإشارة فإننا نطرح القيمة المطلقة الصغرى من القيمة المطلَقة الكبرى ونعطي الناتج إشارة العدد ذي القيمة المطلقة الكبرى. على سبيل المثال،
(+5) + (- = (-3) و (-5) + (+ = (+3).
الطرح. لطرح الأعداد السالبة والموجبة تذكّرْ أولاً طريقة طرح الأعداد الموجبة: المطروح منه - المطروح = الفرق. مثلا 9 - 4 = 5.
لاحظ أن المطـروح منه هـو حاصـل جمع المطروح والفرق (4 + 5 = 9).
إذن لطرح عددين لهما إشارة يجب أن نسأل ما الذي ينبغي إضافته إلى المطروح لنحصل على المطروح منه. فمثلا لإيجاد ناتج (+9) - (-4)، ما العدد الذي يمكن إضافته إلى (-4) لنحصل على العدد (+9)؟ يمكن تحويل عملية طرح الأعداد إلى عملية جمع كالتالي:
1- نغير إشارة المطروح .
2- نجمع المطروح منه والعدد الذي غُيِّرت إشارته، وباستخدام هذه القاعدة: (+9) - (-4) تصبح (+9) + (+4) وبما أن (+9) + (+4) = (+13) فإن (+9) - (- 4) = (+13). لاحظ أن مجموع المطروح والفرق يساوي المطروح منه: (-4) + (+13) = (+9). لنأخذ مثالاً آخر: (-6) - (+. نغير أولا إشارة (+ ثم نضيف الناتج إلى المطروح منه لنحصل على:
(-6) + (- = (- 14).
الضرب. قاعدة ضرب عددين ذَوي إشارة هي: نضرب القيم المطلقة للعددين. فإذا تشابه العددان في الإشارة كان الناتج موجبًا، وإذا اختلف العددان في الإشارة فإن الناتج يكون سالبًا.
(+ 3) × (+ = (+ 24)
(- 3) × (- = (+ 24)
(+ 3) × (- = (- 24)
(- 3) × (+ = (- 24)
القسمة. قاعدة قسمة عددين ذَوي إشارة مشابهة لقاعدة ضربهما: إذا كان العددان متشابهين في الإشارة كان خارج القسمة موجبًا، وإذا اختلفا في الإشارة كان سالباً.
(+ 24) ÷ (+ 3) = (+
(- 24) ÷ (- = (+ 3)
(+ 24) ÷ (- 3) = (-
(- 24) ÷ (+ = (- 3)
وعند استخدامنا الأعداد السالبة في الجبر نقوم بتوسيع مجالات المتغيرات. فعلى سبيل المثال لايوجد حل للمعادلة س + 4 = 1 في مجموعة الأعداد الطبيعية، ولكن - 3 جذر للمعادلة في مجموعة الأعداد الموسعة. كذلك بالإمكان استخدام العمليات التي طبقناها على الأعداد ذات الإشارة، على المتغيرات التي تمثل الأعداد، فيكون بمقدورنا التعامل مع مقادير مثل (- س) أو (-ص).
كتابة الصيغ. يساعدنا الجبر على حل الكثير من المسائل التطبيقية في العلوم والهندسة وفي حياتنا اليومية. إذ من الممكن وصف العديد من الحالات التي تنشأ من الحساب بصيغ عامة؛ فمثلاً إذا كان طول غرفة 5 أمتار وعرضها 4 أمتار فإن محيطها يساوي 5 + 4 + 5 + 4 أو 2 × (5 + 4) مترًا.
أما إذا كان طول الغرفة 5 أمتار وعرضها غير معلوم فإننا نستطيع استخدام المتغير ع ليدل على العرض. وعندئذ يكون محيطها 5 + ع + 5 + ع أو 2 (5 + ع) مترًا. وبصورة عامة إذا كان لدينا غرفة طولها ل متراً وعرضها ع متراً فإننا نستطيع التعبير عن محيطها بعبارة واحدة وهي 2 × (ل + ع). وبإمكاننا حل الكثير من المسائل بمثل هذه الصيغ.
هناك بعض الحالات التي تتطلب تكوين معادلة. فعلى سبيل المثال: افترض أن سائق شاحنة قام بنقل عدد من الكتب في اليوم الأول من شهر أغسطس، ثم نقل ثلث هذا العدد في اليوم الثاني. إذا كان مجموع ما نقله في اليومين هو 6,500 كتاب، فما عدد الكتب التي نقلها في كل يوم؟
إذا فرضنا أن س هــو عــدد الكتب التي نقلها في اليوم الأول فإن 1/3 س هو عدد الكتب المنقولة في اليوم الثاني. وهكذا فإن المعادلة هي س + 1/3 س = 6,500. وبحلها نستطيع إيجاد س. بضرب طرفي المعادلة بالعدد 3 لكي نتخلص من الكسر، وبهذا نحصل على:
3 س + س = 19,500
4 س = 19,500
وبقسمة طرفي المعادلة على العدد 4 نحصل على:
س = 4,875
ويكون 1/3 س = 4,875 ÷ 3 = 1,625. إذن فقد نقل السائق في اليوم الأول 4,875 كتاباً ونقل في اليوم الثاني 1,625 كتاباً ومن ثم يكون مجموع ما نقله في اليومين 4,875 + 1,625 = 6,500.
الجبر الأساسي
بعد أن تتعلم استخدام المتغيرات والمعادلات والأعداد ذات الإشارة يصبح من السهل استيعاب المبادئ الأساسية في الجبر.
الرموز في الجبر. يدل الرمز + على عملية الجمع، غير أنه في الجبر أيضاً يعني العدد الموجب. أما الرمز - فيدل على الطرح والعدد السالب. وقد جرت العادة على استخدام الرمز (.) ليدل على عملية الضرب بدلا من × فنكتب حاصل ضرب أ و ب على الصورة، أ. ب، أو أحيانا أ ب، أو ( أ) (ب). (لاحظ أن كلا من 3. 6 و (3) (6) تعني أن العدد 3 مضروب بالعدد 6 ولكن 63 لايزال يعني العدد 63 كما في الحساب). ويُستخدم الرمز - ليدل على عملية القسمة كما هو الحال في الحساب.
ونستخدم القوسين ( )، والحاصرتين { } والمعقوفتين [ ] لحصر المقادير والأعداد. وتعرف جميعاً باسم إشارات التكديس لأننا نعامل كل ماهو محصور داخلها كمقدار واحد. وغالباً ما يكون من المهم تبسيط المقدار المحصور قبل أن نستخدمه في أجزاء أخرى من المسألة. لنتأمل المثال التالي من الأعداد.
[12 + { 4 + 5 - (5 - 3) + 4} - 4]
نبسِّط أولاً (5 - 3):
[12 + { 4 + 5 - 2 + 4} - 4]
ثم نبسط { 4 + 5 -2 + 4}:
[12 + 11 -4] = 19
بالطريقة نفسها نبسِّط الصيغ التي تحتوي على متغيرات كما في المثال التالي:
[5 س + 6س + {5 س - س + (3س + 4س)} - س]
نبسِّط أولا: {3 س + 4 س}:
[5 س + 6س + {5س - س + 7س} -س]
ثم نبسط {5س - س + 7س}:
[5س + 6س + 11س - س] = 21س
وفي بعض الأحيان يكون من الأسهل التخلص من الأقواس التي تحصر مقداراً جبريًا دون تبسيطه. ويمكن تنفيذ ذلك باستخدام قاعدتي الجمع والطرح على الأعداد ذات الإشارة. على سبيل المثال يمكن كتابة الصيغة.
أ + (ب + جـ) على الصورة أ + ب + جـ
ولتوضيح ذلك نلاحظ أن التعبير 40 + (8 - 2) يعني أن العدد 8 - 2 أو 6 مضاف إلى العدد 40، أو 40 + 6. وبإسقاط الأقواس يكون 40، + 8 - 2 أو 48 - 2 مساوياً للصيغة المبسطة 40 + 6. إذا وجد أمام مقدار جبري بين قوسين إشارة + فبإمكاننا إزالة القوسين دون أن نغير إشارات المقادير التي بداخلها. على هذا فإن أ + (- ب - جـ) تصبح أ + (- ب) - جـ أو أ - ب - جـ.
أما إذا كان المقدار الجبري بين القوسين مسبوقاً بإشارة - فيجب أن نغير إشارات كل الكميات داخل القوسين بعد إزالتهما. فمثلا التعبير 6 - (- يصبح 6 + 8 أو 14 أي أننا نحول مسألة الطرح إلى مسألة جمع. وكمثال آخر: 6 - (+ يصبح 6 + (- أو 6 - 8 = - 2. وإذا كان هنالك أكثر من مقدار بين القوسين فينبغي أن نغير إشارة كل واحد منهما. فمثلا 6 - (-3 + 2) يصبح 6 + 3 - 2 أو 7. وكقاعدة نستطيع أن نكتب أ - ( ب + جـ) بالشكل أ - ب - جـ.
أما إذا أردنا أن نغير إشارات المقادير أو الأعداد فإننا نعكس العملية فنقوم بوضعها داخل قوسين. فمثلاً يمكننا كتابة 8 + 7 على الصورة - (-8-7). و 8 + 4 - 6 على الصورة 8 - (-4 + 6).
القوانين الأساسية. هناك خمس قوانين أساسية في الجبر تحكم عمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة. ويعبَّر عنها باستخدام متغيرات يمكن التعويض عنها بأي عدد كان. وهذه القوانين هي:
1- الخاصية الإبدالية للجمع. وتكتب س + ص = ص + س. وتعني أن الترتيب غير مهم عند جمع عددين إذ إن النتيجة واحدة. فمثلاً 2 + 3 = 3 + 2 و (- + (- 36) = (-36) + (-.
2- الخاصية التجميعية للجمع. وتكتب س + (ص + ع ) = (س + ص) + ع، وتعني أنه عند جمع ثلاثة أعداد أو أكثر، فإنه يمكن جمع أي تشكيل منها أولاً، ثم إكمال الجمع دون أن يتأثر الناتج النهائي، فمثلا 2 + (3 + 4) = (2 + 3) + 4 أو 2 + 7 = 5 + 4.
3- الخاصية الإبدالية للضرب. وتكتب س ص = ص س. وتعني أن الترتيب غير مهم عند ضرب عددين إذ إن النتيجة واحدة. فمثلاً (2) (3) = (3) (2) و (- (- 36) = (-36) (- .
4- الخاصية التجميعية للضرب. وتكتب س (ص ع) = (س ص) ع. وتعني أنه عند ضرب ثلاثة أعداد أو أكثر فإنه يمكن ضرب أي تشكيل منها أولا، ثم إكمال الضرب دون أن يتأثر الناتج النهائي. فمثلا 2 (3 × 4) = (2 × 3) 4 أو 2 (12) = (6) 4.
5- خاصية توزيع الضرب على الجمع. وتكتب:
س (ص+ع) = س ص + س ع.
نوضح هذه الخاصية المهمة في الجبر بالمثال التالي:
3 (4+ 5) = (3 × 4) + (3 × 5). إن حاصل ضرب عدد في مجموع عددين مثل 3 (4 + 5) أو 3 × 9 يساوي مجموع حاصل ضرب العدد بأحد العددين وحاصل ضرب العدد بالعدد الثاني. لاحظ أن:
3 (4 + 5) = 3 (9) = 27 وكذلك.
(3 × 4) + (3 × 5) = 12 + 15 = 27.
تعريفات أخرى. من المهم أن نعرف بعض الكلمات الأخرى المستخدمة في الجبر. فالمقدار س²- 2س ص+ص يحتوي على ثلاثة أجزاء ترتبط بعمليتي الجمع أو الطرح، يُسمى كل جزء منها حداً. ويُسمى المقدار الجبري المكون من حد واحد فقط بوحيد الحد، فمثلا 5 س ص وحيد الحد، على الرغم من أنه يحتوي على ثلاثة عناصر (5، س، ص) مضروبة بعضها مع بعض يسمى كل منها عاملا. ويعرف المقدار ذو الحدين بأنه المقدار المكون من حدين بينهما إشارة جمع أو طرح، فمثلاً كل من س+ ص و 3أ²- 4ب ذات حدين. أما متعددة الحدود فهي المقدار المكون من حدين أو أكثر مرتبطة فيما بينها بإشارة جمع أو طرح، فمثلاً س - ص + ع متعدد الحدود. لاحظ أن ذات الحدين ليست إلا حالة خاصة من متعدد الحدود.
ويعني وضع المقادير جنباً إلى جنب في الجبر أنها مضروبة، فيدل التعبير 5 أ على حاصل ضرب أ في خمسة ويُسمى العدد 5 معامل أ. وبما أن 5 مضروب في الرمز أ ففي الجبر يسمى أ معاملا للعدد 5.كذلك في الصيغة أ (س+ ص) أ هو معامل (س + ص) و (س + ص) هو معامل أ. ولما كان أ = 1 × أ فإن بإمكاننا على الدوام استبدال أ بالصيغة 1 أ.
الجمع. تشبه عملية الجمع في الجبر إلى حد كبير مثيلتها في الحساب. فمثلاً حاصل جمع أ و أ هو 2 أ. نسمي أ و 2 أ حدين متشابهين وذلك لأنهما يحتويان المتغير نفسه. ولجمع كميتين جبريتين متشابهتين أو أكثر نستخدم خاصية توزيع الضرب على الجمع، فمثلاً.
2 س + 3 س + 4 س هو (2 + 3 + 4) س أو 9 س، إلا أننا لانستطيع التعبير عن حاصل جمع كميتين غير متشابهتين بحد واحد. فمثلا حاصل جمع أ و ب يكتب أ + ب. ولجمع 3 أ، 4 ب ، 6 أ و ب نستخدم خاصتي الإبدال والتجميع لعملية الجمع. ومن الواضح أن هاتين الخاصتين تساعداننا على جمع أية سلسلة من الحدود مكتوبة بأي ترتيب. وبتجميع الحدود المتشابهة نجد أن:
3 أ + 6 أ = 9 أ و 4 ب + ب = 5 ب .
إذن 3 أ + 4 ب + 6 أ + ب = 9 أ + 5 ب.
وبالإمكان تنظيم الحل على النحو التالي:
ولجمع مقادير غير متشابهة سالبة كانت أم موجبة نقوم باستخدام خاصة توزيع الضرب على الجمع. لنوضح هذا الاستخدام بجمع:
(2أ§ - ب²جـ + 6 ب د² + 2 د§) و
(4أ§ + 3ب²جـ - 4 ب د² - 3 د§) و
(3أ§ + 2ب²جـ + 2 ب د² - 4 د§) و
(-2أ§ - 8ب²جـ + 6 ب د² + 6 د§).
والعدد 3 الذي يظهر في الحدود مثل 2أ§ يعني أن المتغير أ مضروب في نفسه ثلاث مرات. انظر: المكعب. وقبل إجراء عملية جمع هذه المقادير نرتب الحدود في أعمدة.
ولتفسير ذلك نوضح عملية جمع العمود الثاني. هذا العمود هو:
- ب² جـ + 3ب²جـ + 2 ب² جـ - 8 ب² جـ
لاحظ أن كل حد من هذه الحدود هو حاصل ضرب عدد في ب² جـ. ومن ثم فإننا نضيف معاملات هذه الحدود وهي: -1، +3، +2، -8 لنحصل على الجواب. أي أن:
- ب² جـ + 3ب²جـ + 2 ب² جـ - 8 ب² جـ
= (-1 + 3 + 2 - ب² جـ = -4ب²جـ .
والطريقة نفسها استخدمت لجمع الأعمدة الثلاثة الأخرى.
الطرح. في الجبر نستخدم للطرح القاعدة نفسها المستخدمة للأعداد ذات الإشارة. فعند طرح كمية جبرية من كمية أخرى نغير إشارة المطروح ونجمع الكميتين. فمثلا 8 أ - 3 أ هي في الحقيقة (+ أ - (+ 3) أ وذلك لأننا عادة لانكتب الإشارة الموجبة. ولتغيير مسألة الطرح هذه إلى مسألة جمع فإن الكمية (+أ - (+3) أ تصبح (+ أ + (- 3) أ أي 5 أ. ومسألة الطــرح (2أ§ - ب² جـ + 6 ب د² + 2د§) - (4أ§+ 3ب²جـ -4ب د² - 3د§) أصعب قليلا. أولاً نرتب الحدود المتشابهة ونضع كلاً في عمود منفصل.
2أ§ - ب²جـ + 6 ب د² + 2 د§
4أ§ + 3ب²جـ - 4 ب د² - 3 د§
ثم نطرح معاملات الحدود المتشابهة، وذلك بتغيير إشارات حدود المطروح والجمع:
2أ§ - ب²جـ + 6 ب د² + 2 د§
-4أ§ - 3ب²جـ + 4 ب د² + 3 د§
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
-2أ§ - 4 ب²جـ + 10 ب د² + 5 د§ .
الضرب. يُشار إلى عملية الضرب في الجبر عادة بكتابة مقدارين أو أكثر جنباً إلى جنب دون وضع إشارة ضرب بينهما، فمثلاً أ × ب تكتب أ ب. وعند تكرار عدد أو متغير أكثر من مرة فإننا نختصر الكتابة، فمثلاً نكتب المقدار أ ب² بدلاً من أ ب ب و أ ب ¨ بدلا من أ ب ب ب ب. والعدد المكتوب فوق المتغير ب يسمى أساً ويدل على عدد مرات ضرب المقدار في نفسه. فنحن نكتب أ² ويسمى مربع أ بدلاً من أ × أ وكذلك أ§ ويسمى مكعب أ بدلاً مـن أ × أ × أ. كذلك أ ¨ ليس إلا أأأأ و أ¹ هو أأأأأ. وبمقدورنا أن نعتبر أن أس المتغير الذي يظهر كعامل مرة واحدة هو 1 وإذا دعت الحاجة لجمع أو طرح الأسس فبإمكاننا أن نكتب أ¥ بدلاً من أ.
وعند ضرب متغيرات متشابهة نجمع أسسها. ومع أن من الواضح أن ب² ×ب§ هو (ب×ب)×(ب× ب × ب) أي ب¹ غير أنه من الأيسر أن نجمع الأسين:
ب² × ب§ = ب²+§ = ب¹ لاحظ أنك لا تستطيع جمع الأسس في المقدار أ² × ب² وذلك لأن أ و ب قد يمثلان عددين مختلفين.
ويسمى المقدار مثل أ ب جـ د، ب جـ² د س حاصل الضرب. كما تسمى المقادير التي تشكل حاصل الضرب العوامل. فمثلا أ، ب، جـ ، د هي عوامل أ ب جـ د. وإذا أردنا ضرب أ ب جـ د، ب جـ² د س فإننا نجمع أسس العوامل المتشابهة. ففي (أ ب جـ د) (ب جـ² د س) نجد أن أ يظهر مرة، ب مرتين، جـ ثلاث مرات، د مرتين و س مرة فيكون:
(أ ب جـ د) (ب جـ² د س) = أ ب² جـ§ د² س. حيث مكنتنا الخاصية الإبدالية للضرب من إجراء عملية الضرب بأي ترتيب نشاء.
ولضرب مقدار جبري يحتوي على حدين أو أكثر بحد واحد، فإننا نستخدم خاصية توزيع الضرب على الجمع: س (ص + ع) = س ص + س ع. ولعل عملية الضرب (3 ب د) (5ب² جـ + 2د) تبين استخدام هذه الخاصية حيث نقوم بتعديل الطريقة المستخدمة في الحساب لإجراء هذه العملية فنكتب:
لاحظ أننا ضربنا الحد 3 ب د بالحد 5 ب² جـ ووضعنا الناتج 15 ب§ جـ د ليكون الحد الأول في حاصل الضرب، ثم ضربنا الحد 3 ب د بالحد2 د ووضعنا الناتج 6 ب د² كحد ثان في حاصل الضرب. وبالتالي فإن حاصل الضرب الكلي هو 15 ب§ جـ د + 6 ب د² .
ويكون الأمر أكثر صعوبة عند ضرب مقدارين كل منهما مكون من حدين أو أكثر. فمثلا نجري عملية الضرب (أ² - 2 أ ب + ب²) (أ - ب) على النحو التالي:
أولا نضرب كل حد من حدود المقدار المضروب بالحد الأول من المقدار المضروب منه، ونكتب ناتج عملية الضرب هذه كجزء من الجواب. ثم نضرب كل حد من حدود المضروب بالحد الثاني من المضروب منه، ونكتب ناتج عملية الضرب هذه في سطر آخر تحت الجزء الأول (مع مراعاة وضع الحدود المتشابهة في عمود واحد). وأخيرا نجمع السطرين لنحصل على الجواب النهائي. لاحظ أن ترتيب الحدود المتشابهة بأعمدة يسهِّل عملية الجمع النهائية.
القسمة. عملية القسمة في الجبر هي عكس عملية الضرب. ولما كنا نجمع الأسس عند ضرب الحدود المتشابهة فإنه ينبغي عند قسمة حدين متشابهين أن نطرح أس المقسوم عليه من أس المقسوم. فمثلاً:
ب ب ب ب ب ÷ ب ب = ب ب ب أو:
ب¹ ÷ ب² = ب §. من الأسهل طرح الأسس:
ب¹ ÷ ب² = ب¹ ¯ ² و ب¹ ¯ ² = ب§.
تذكر دائماً أنك تتعامل مع أسس وأنك لاتقسم ب¹ على 2.
لنأخذ مثالا أكثر صعوبة:
(3 س ¨ ص² ع - 9س§ ص ع²- 6 س² ص§) ÷ (3 س² ص) يجب أن نقسم هنا كل حد من حدود المقسوم على المقسوم عليه. ولإتمام ذلك نسأل عن الحد الذي نضربه بالحد (3 س² ص) ليعطينا الحد المطلوب من المقسوم. مثلا ماهو الحد الذي إذا ضربناه بالحد (3 س² ص) يعطينا الحد (-9 س§ ص ع²) ؟. والجواب هو (- 3 س ع²) وباستخدام هذه الطريقة نجد أن:
(3 س ¨ ص² ع - 9 س§ ص ع² - 6 س² ص§) ÷ (3س² ص) = (س² ص ع -3 س ص² - 2 ص²).
لنأخذ مثالا آخر:
(12أ² + 18 أ ب + 6 ب²) ÷ ( 4أ + 2 ب).
لحل هذه المسألة تستخدم طريقة القسمة المطولة وهي تشبه الطريقة المتبعة في قسمة الأعداد:
نقسم أولا الحد الأول من المقسوم على الحد الأول من المقسوم عليه (12أ² ÷ 4أ = 3أ). نكتب الناتج وهو 3أ ليكون الحد الأول من خارج القسمة. نضرب الآن كل حد من حدود المقسوم عليه في الحد 3 أ أي أن:
3 أ (4 أ + 2 ب) = (12 أ² + 6 أ ب).
نكتب هذا الناتج تحت المقسوم، ونطرح، ثم نكتب حاصل الفرق وهو 12 أ ب + 6 ب². نقسم الآن 12 أ ب على الحد الأول من المقسوم عليه وهو 4 أ (12 أ ب - 4أ = 3ب). نكتب الناتج بإشارته (+ 3 ب) ليكون الحد الثاني من خارج القسمة. نضرب الآن كل حد من حدود المقسوم عليه بالحد 3 ب:
3 ب (4 أ + 2 ب) = (12 أب + 6ب²)
ثم نضع هذا الناتج تحت 12 أ ب + 6 ب² ونطرح لنجد أن حاصل الفرق هنا صفر. عند ذلك تتوقف عملية القسمة ونكون قد حصلنا على خارج القسمة 3 أ + 2 ب دون باق.
التحليل. يشبه التحليل إلى حد ما القسمة. فمثلاً:
(4أ + 2ب) و (3 أ + 3 ب) هما عاملان للمقدار 12أ² + 18 أ ب + 6 ب² لأننا إذا ضربنا (4أ + 2ب) (3أ + 3ب) نحصل على 12أ² + 18 أب + 6ب². ويعني التحليل كتابة مقدار جبري في شكل حاصل ضرب عوامل. من الممكن أن يكون لصيغة ما أكثر من تحليل. فمثلاً كل من 2 × 12، 3 × 8 و 4 × 6 هو تحليل للعدد 24. وتكمن أهمية التحليل في الجبر في استخدامه لتبسيط المقادير المعقدة. انظر: العامل الحسابي.
استخدام المعادلات
مثال الإسمنت
الدوال. تعتمد الكمية التي تستهلكها طائرة من الوقود على سرعتها. وتعتمد قيمة الطوابع اللازمة لوضعها على طرد بريدي على وزن الطرد. وفكرة اعتماد شيء على شيء آخر من الأفكار المهمة في الرياضيات، وتسمى علاقة بين شيء وآخر. وتسمى العلاقات بين متغيرات في الجبر بالدوال. فالدالة بين متغير وآخر تعني أن قيمة أحد المتغيرين تعتمد على قيمة الآخر.
ويمكن توضيح فكرة الدالة عن طريق تقديم أمثلة مألوفة. لنفرض وجود أساس من الإسمنت يرتفع 16 سم فوق سطح الأرض، وأننا نريد أن نبني 6 طبقات من الحجر فوق هذا الأساس بحيث يكون ارتفاع كل منها 8 سم. في كل مرة ننتهي من بناء طبقة تحدث زيادة في الارتفاع الكلي.
لنرمز لعدد الطبقات بالرمز س وللارتفاع بالرمز ص. يوضح الجدول التالي العلاقة بين عدد الطبقات والارتفاع:
جدول يمثل العلاقة بين عدد الطبقات والارتفاع
وباستطاعتنا التعبير عن هذا الجدول بالرسم البياني.
الرسم البياني للعلاقة بين عدد الطبقات والارتفاع
لنفرض أننا نقيس قيم س و ص على خطين مثل المسطرة. أحد هذين الخطين أفقي ويمثل قيم س، والآخر رأسي ويمثل قيم ص. نسمي هذين الخطين محوري الإحداثيات ونقوم الآن بتمثيل كل زوج من قيم الجدول بنقطة على المنحنى ذي 7 نقاط.
التمثيل على محور الإحداثيات
ويمكن كتابة معادلة تصف هذا الخط من النقاط، وهذه المعادلة هي ص = 8 س + 16. فمثلاً إذا كانت س = 2 فإن ص = 8(2) + 16 = 32. وإذا كانت س = 5 فإن ص = 8 (5) + 16 = 56. من السهل أن نرى كيف تتوافق هذه المعادلة مع القيم الموجودة في الجدول. إن مجال ص في هذه المعادلة هو مجموعة الأعداد {صفر، 1، 2، 3، 4، 5، 6}. وتسمى مجموعة قيم ص بمدى ص، وهي مجموعة الأعداد {16، 24، 32، 40، 48، 56، 64}. وفي الرياضيات، تعرف العلاقة بين مجموعتين من الأعداد على أنها مجموعة من الأزواج المرتبة. وتكتب هذه المجموعة كالتالي:
{(س، ص) (صفر، 16)، (1، 24)، (2، 32)، (3، 40)، ...، (6، 64)}.
هذه المجموعة من الأزواج المرتبة دالة. وتسمى دالة متقطعة لأننا لانستطيع تمثيلها بخط متصل. لاحظ أن هذه الدالة ممثلة بنقاط في الرسم أمامنا.
مثال حوض الأحياء المائية
ليكن لدينا حوض للأحياء المائية ارتفاعه 36 سم ويرتفع قاعه بمقدار 20 سم عن الأرض، ولنفرض أنه عند صب الماء في الحوض يزيد ارتفاع سطح الماء بمقدار 4 سم كل دقيقة. هذا يعني أن ارتفاع الماء عن الأرض يعتمد على الزمن الذي ينسكب فيه الماء. لنرمز لعدد دقائق انسكاب الماء بالرمز س ولارتفاع الماء عن الأرض بالرمز ص. الجدول التالي يعطينا بعض قيم س و ص
جدول يمثل العلاقة بين ارتفاع حوض الماء و الدقائق
إذا مثلنا هذه العلاقة على الرسم باستخدام الإحداثيات فإننا نحصل على مستقيم متصل وذلك لأن ارتفاع ص يتزايد تزايداً متصلاً.
والمعادلة التي تمثل هذا الخط المستقيم هي: ص = 4 س + 20. فإذا كانت س = 2 مثلا فإن ص = 4 (2) + 20 = 28، ومن السهل أن نرى كيف تتوافق هذه المعادلة مع القيم الموجودة في الجدول. إن مجال ص هو جميع الأعداد بين صفر و 9 ومدى ص هو جميع الأعداد بين 20 و 56 وتسمى هذه الدالة بالدالة الخطية لأنها متصلة ويمكن تمثيلها بخط مستقيم. أما المعادلة ص = 4 س+ 20 فتسمى معادلة خطية. وتعتبر دراسة المعادلات الخطية من بين أكثر المواضيع أهمية في الجبر.
حل المعادلات الخطية في متغيرين. المعادلة ص = 4 س + 20 معادلة خطية، ومن الخط المتصل الذي يمثل هذه المعادلة نستنتج أن لهذه المعادلة حلولاً عديدة، أي أنه يوجد عدد كبير من الأزواج المرتبة التي تجعل ص = 4 س + 20 تقريراً صائباً. ويظهر في هذه المعادلة متغيران س و ص. وبما أن للمعادلات الخطية حلولاً كثيرة فإننا نضع في الغالب بعض القيود على هذه الحلول، لأنه في بعض الأحيان نستخدم هذه المعادلات لإيجاد حلول لمسائل تطبيقية. ولكي يتم ذلك فلا بد من إيجاد وسيلة نقصر بها حلول المعادلة على حل واحد فقط. وإحدى الطرق المستخدمة هي أن نجد معادلتين تكونان صائبتين لزوج مرتب واحد فقط. وهناك طريقة أخرى تستخدم فيها معادلة واحدة لكن مع حصر الحلول في الأعداد الصحيحة الموجبة.
ولتوضيـح الطـريقة الأولى نأخذ المعادلتين 2 ص = س + 4 و ص + س = 5. نستخدم الرسم البياني لحل هاتين المعادلتين ولكن ننشىء أولا جدولا يحتوي قيماً لبعض حلول كل من المعادلتين .
نعين هذه القيم على الرسم البياني، ثم نرسم الخط الذي يمثل كل معادلة من هاتين المعادلتين. نجد أن الخطين يتقاطعان في نقطة، ونقطة تقاطعهما تمثل مجموعة حل المعادلتين معًا. وهذه النقطة هي (2، 3). أي أن قيمة س هي 2 وقيمة ص هي 3. هاتان القيمتان فقط هما قيمتا س و ص اللتان تعطيان حلاً للمعادلتين معاً.
نستطيع أيضاً أن نجد حلاً لمعادلتين خطيتين بطريقة حذف أحد المتغيرين. وهذه الطريقة تنتج لنا معادلة واحدة تحتوي على متغير واحد. نستخدم المعادلتين 2 ص = س + 4 و ص + س = 5 لتوضيح هذه الطريقة. هناك عدة طرق لحذف متغير، ونستخدم هنا طريقة تعرف بطريقة التعويض. ونستخدم إحدى المعادلتين لنضع ص بدلالة س ولتكن ص + س = 5. إذن ص = 5 - س. نعوض الآن عن ص في المعادلة الثانية 2 ص = س + 4 لنحصل على 2 (5 - س) = س + 4. ولتبسيط هذه المعادلة نجد أن 10 - 2 س = س + 4، أي 3 س = 6 ومنها س = 2. نعوض الآن عن قيمة س في أي من المعادلتين ونوجد قيمة ص فنحصل على ص = 3. 2ص = 2+4 وص + 2 = 5 وبالتالي فإن مجموعة الحل هي {(2 ،3)}.
مثال الديوك الرومية
من الممكن أيضاً أن نجد حلول معادلة في متغيرين بقصر مجموعة الحل على الأعداد الصحيحة الموجبة. ويمكن توضيح ذلك بالمثال التالي: اشترى رجل عدداً من الديوك الرومية والبط. إذا كان وزن كل ديك رومي 5 كجم ووزن كل بطة 2 كجم، ومجموع ما اشتراه الرجل 31 كجم، فما عدد الطيور التي اشتراها من كل نوع ؟
لنفرض أن س يمثل عدد الديوك الرومية و 5 س وزنها، ولنفرض أن ص يمثل عدد البط و 2 ص وزنها. ومن ثم يمكن صياغة المسألة على صورة المعادلة 5 س + 2ص = 31. من الواضح أن كلاً من س و ص يجب أن يكون عدداً صحيحًا موجباً لأننا لانستطيع شراء جزء من طير. وبما أن 2 ص عدد زوجي فإن س يجب أن يكون عدداً فردياً. وبالتعويض عن س بقيم فردية نجد أن مجموعة حل المعادلة هي:
{(1، 13) ، (3، ، (5، 3)}. أي أن الرجل يمكن أن يشتري: ديكاً رومياً واحداً و 13 بطة
أو 3 ديوك رومية و 8 بطات
أو 5 ديوك رومية و 3 بطات.
لاحظ أنه لايمكن التعويض عن س بالعدد 7 لأن قيمة ص حينئذ تكون - 2. انظر: المحدد. لمعرفة طريقة أخرى لحل المعادلات في متغيرين.
معادلات الدرجة الثانية في متغير واحد. معادلة الدرجة الثانية (المعادلة التربيعية) هي معادلة يكون المتغير فيها مربعاً. فمثلاً س² - 8س = -16 معادلة من الدرجة الثانية في متغير واحد، نستطيع دائماً أن نضع معادلة الدرجة الثانية على الصورة:
أ س² + ب س + جـ = صفر
وتسمى القيم أ ،ب، جـ المعاملات وهي قيم ثابتة معلومة و س متغيرًا مجهولاً، وأبسط صورة لهذه المعادلة هي المعادلة التي يكون فيها أ = 1 وب =صفر. فمثلاً إذا كان أ=1، ب=صفر وجـ =-36 فإن المعادلة تأخذ الصورة س² -36 = صفر. أي أن س² = 36 ومجموعة الحل هي ( -6، 6 ).
أما إذا كان ب لا يساوي صفرًا، فإن هناك ثلاث طرق لحل معادلة الدرجة الثانية.
الطريقة الأولى هي تحليل المعادلة بعد وضعها على الصورة
أ س²+ ب س + جـ = صفر. فمثلاً لحل س² + 8س + 15 = صفر، نحلل الطرف الأيمن لهذه المعادلة:
س² + 8س +15=(س + 3) (س + 5). ومن ثم فإن (س+3) (س+5) =صفر. لاحظ أنه إذا كان حاصل ضرب عددين يساوي صفرًا، فإنه إما أن يكون الأول صفراً أو الثاني صفرًا. وإذا كان س+5=صفر فإن س=-5 وبالمثل إذا كان س + 3 = صفر فإن س = -3. إذن مجموعة حل المعادلة س² + 8 س+15=صفر هي {-3، -5}.
الطريقة الثانية لحل المعادلة تعرف بطريقة إكمال المربع. تسمى الصيغة أ²+2أ ب+ب² بالمربع الكامل لأننا نستطيع كتابتها على الصورة ( أ + ب)².
نستطيع دائماً أن نضع أية معادلة من الدرجة الثانية مثل س² + 8 س + 15 = صفر بحيـث يكـون الطــرف الأيمن مربعاً كامـلاً. ولرؤية ذلك نعيـد كتابة المعادلـة س²+ 8 س + 15 = صفر لتصبح س² + 8س= -15. نعلم أن س² + 8 س +16 مربع كامل لأنـنا نستطيـع أن نكتبـه على الصـورة (س + 4)². إذن نضيف 16 لطرفي المعادلة س² + 8 س = -15. ولنحصل على س² + 8س + 16 = -15 + 16. بالتحليل نحصل على (س + 4)² =1. ويسمى أحد العاملين المتساويين الجذر التربيعي . انظر: الجذر التربيعي. وفي المعادلـة (س + 4)² = 1 نجــد أن س + 4 هو الجذر التربيعي للعدد 1، ولكن الجذر التربيعي للعدد 1 هو العدد 1 أو العدد - 1. إذن س + 4 = 1 أو س + 4 = - 1، أي س = - 3 أو س = - 5. وبالتالي فإن مجموعة الحل للمعادلة س² + 8 س + 15 = صفر هي {-3، -5}.
أما الطريقة الثالثة لحل المعادلة من الدرجة الثانية في متغير واحد فتتمُّ باستخدام قانون في الرياضيات هو:
حيث نحصل على المعاملات أ، ب، جـ من المعادلة من الدرجة الثانية التي تكون على الصورة أ س² + ب س + جـ = صفر. و بتعويض هذه القيم في المعادلة نستطيع أن نجد قيم س. الرمز + في القانون يعني اختيار الإشارة الموجبة مرة والسالبة مرة أخرى. وهذا يعني أننا نحصل دائمًا على جذرين للمعادلة.
نبذة تاريخية
استخدم الصينيون والفرس والهنود الجبر قبل آلاف السنين، ومن المحتمل أيضا أن يكون البابليون قد عرفوا شيئًا من الجبر. وأول دليل على استخدام الجبر يعود للرياضي المصري أحمس الذي عاش نحو عام 1700 ق.م، أو قبل ذلك. وبعد ذلك بقرون طويلة ساهم الإغريق في تطور الجبر، حيث استخدم الرياضي الإغريقي ديوفانتوس الذي عاش في القرن الثالث الميلادي معادلات الدرجة الثانية ورموزاً لكميات غير معلومة. ولقد أطلق على ديوفانتوس لقب أبي الجبر.
لقد كان للعرب مساهمة كبيرة في تطور الجبر، حيث استخدموا الإشارات الموجبة والسالبة، وطوروا الكسور بصورة مقاربة جداً لما هي عليه الآن. فقد اخترع العرب الصفر في القرن التاسع الميلادي، ويعتبر ذلك من أعظـم التطورات في تاريخ الرياضيات. وبين عامي 813 و 833م جمع العالم الرياضي الخوارزمي الذي كان مدرساً للرياضيات في بغداد أعمال الرياضيين الهنود والعرب في مادة الجبر وطورها. وقد أخذت كلمة الجبر التي تعني التعويض بمفهوم حل المعادلات من عنوان كتاب الخوارزمي المشهور الجبر والمقابلة. وقدم الخوارزمي في هذا الكتاب حلولاً هندسية وجبرية لمسائل طرحها الإغريق، وقد قصد الخوارزمي بالجبر ¸نقل الحدود من أحد طرفي المعادلة إلى الطرف الآخر، وقصد بالمقابلة اختصار ما يمكن اختصاره بعد عملية الجبر ثم إيجاد نتيجة المعادلة·. وقد أطلق على المجهول س اسم الجذر وعلى س² اسم مال وعلى س§ اسم كعاب وعلى س4 مال المال. انظر: الخوارزمي، أبو جعفر؛ العلوم عند العرب والمسلمين (الرياضيات). وقد كتب عمر الخيام الشاعر والعالم الفلكي الفارسي الذي عاش في الفترة بين 1050 م و 1123 م كتاباً في الجبر. انظر: عمر الخيام.
وخلال العصور الوسطى كان التقدم في الجبر بطيئاً. وبدأ اهتمام الأوروبيين بالجبر في القرن السادس عشر الميلادي حين بدأ العلماء يقتنعون بأهميته. وقد ساهم بعد ذلك كثير من علماء الرياضيات في تطور الجبر.
ونتج عن اكتشاف الحاسوب تغيرات مهمة في دراسة واستخدامات الجبر؛ لأنّ بإمكان برامج الحاسوب القيام بمعظم خطوات حل المسائل الجبرية. فمثلا نستطيع استخدام هذه البرامج لحل المعادلات الخطية ومعادلات الدرجة الثانية بسهولة تامة. ونتيجة لذلك فمن المتوقع أن يتغبر أسلوب تدريس مادة الجبر؛ فبدلاً من تدريس المهارات الأساسية التي تساعد على حل المسألة الجبرية فمن الممكن التركيز على مفاهيم مادة الجبر.
أسئلة
كيف يساعد استخدام المتغير على حل المسألة الرياضية ؟
كيف يمكن أن نقارن بين المعادلة والميزان؟
ماذا نعني بجذر أو جذور معادلة ؟
كيف تستطيع الأعداد في الجبر أن تحدد القيمة والاتجاه؟
ما قاعدة ضرب الأعداد الموجبة والسالبة ؟
كيف تستطيع ضرب المتغيرات المتشابهة المرفوعة لقوى ؟ مثلاً (5 ص ¨) (3 ص²) .
كيف يمكن تمثيل الدالة برسم بياني ؟
ما الخاصية الإبدالية للضرب ؟
ما الطرق المستخدمة في حل معادلات الدرجة الثانية في متغير واحد؟
من أين جاءت تسمية الجبر ؟
ما دور الخوارزمي في تأسيس علم الجبر؟
الاستاذ عبد الواحد
معادلة الجبر تشمل حروفًا تمثل أرقامًا مجهولة.
الجََــبْــر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم.
ويُرمَز للأعداد المجهولة في الجبر بحروف مثل س أو ص. وفي بعض المسائل يمكن استبدال عدد واحد فقط بالرمز. وكمثال بسيط نلاحظ أنه حتى تصبح الجملة س + 3 = 8 صحيحة فيجب أن نعوّض عن س بالعدد 5 وذلك لأن 5 + 3 = 8.
أمّا في بعض المسائل الأخرى فإنه يمكن التعويض عن الرمز بعدد أو أكثر. على سبيل المثال، حتى نحقق صحة الجملة الجبرية س + ص = 12 قد نضع س تساوي 6 وص تساوي 6، أو س تساوي 4، و ص تساوي 8. في مثل هذه الجمل الجبرية، تستطيع الحصول على قيم عديدة لـ س تجعل الجمل صحيحة إذا أعطيْتَ لـ ص قيمًا مختلفة.
ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط. فعلى سبيل المثال لنفرض أن طائرة تقطع مسافة 1,710كم في أربع ساعات إذا كان الطيران في اتجاه هبوب الريح ولكنها تقطع 1,370 كم في خمس ساعات إذا كان الطيران بعكس اتجاه هبوب الريح. باستخدام الجبر نستطيع أن نجد سرعة الطائرة وسرعة الريح.
--------------------------------------------------------------------------------
مصطلحات مستخدمة في الجبر
--------------------------------------------------------------------------------
الأس عدد يوضع فوق عدد أو متغير من الجهة اليسرى ليدل على عدد المرات التي يُستخدم فيها كعامل.
إشارات التجميع الهلالان ( )، الحاصرتان { }، المعقوفان [ ]. وتستخدم في الجبر لحصر الصيغ الجبرية.
التربيعي أو من الدرجة الثانية متغير مضروب في نفسه ¸أي مستخدم كعامل مرتين·.
ثنائي الحد عبارة في الجبر تتكون من حدين بينهما الرمز + أو الرمز -.
الثابــــت عدد أو متغير مجاله مجموعة مكونة من عنصر واحد.
جذور المعادلة الأعداد التي تجعل المعادلة تقريراً صائبًا عند إحلالها محل المتغيرات في المعادلة.
الحـــد جزء من صيغة رياضية يرتبط مع حدود أخرى باستخدام عملية الجمع أو الطرح.
الصيغة عدد أو متغير أو أعداد ومتغيرات مرتبطة مع بعضها بعمليات مثل الجمع، الطرح، الضرب، القسمة.
العوامل صيغتان أو أكثر مضروبة ببعضها.
القيمة المطلـقة لعدد ما هي مقدار العدد موجبا كان أو سالبًا.
متعدد الحدود عبارة مكونة من حدين أو أكثر.
المعادلة جملة رياضية تعبر عن صيغتين متساويتين.
المعامل ما يضرب به متغير أو عدد وعادة يكتب قبل المتغير.
المتغـير رمز جبري عادة ما يكون رمزا ويمكن التعويض عنه بعدد أو أكثر.
وحيد الحد عبارة مكونة من حاصل ضرب عدد بمتغير.
تعلُّم الجبر
يرمز العدد في الحساب لمجموعة تحتوي على ذلك العدد من الأشياء، فمثلاً العدد 5 دائمًا يرمز لمجموعة تحتوي على 5 أشياء. أما في الجبر فإن الرموز قد تُستبدل بالأعداد، غير أنه من الممكن أن يحل عدد أو أكثر محل رمز واحد. وحتى نتعلم الجبر يجب علينا أن نتعلّم أولاً كيف تُستخدم الرموز محل الأعداد. ومن ثم كيفية إنشاء الجمل الجبرية عن الأعداد.
المجموعات والمتغيرات. هناك علاقة بين الرموز في الجبر ومجموعات الأعداد. فمن المؤكد أن لكل منا بعض الإلمام بمجموعات الأشياء، مثل مجموعات الكتب، ومجموعات الطوابع البريدية، ومجموعات الصحون. ومجموعات الأعداد لاتختلف عن هذه المجموعات كثيراً. وإحدى الطرق لوصف مجموعات الأعداد في الجبر هي أنْ نقوم باستخدام أحد الحروف الأبجدية مثل ص كاسم لها. ثم نصف أعداد هذه المجموعة بحصرها بين قوسين من الشكل { }. فمثلاً يمكن التعبير عن مجموعة الأرقام من 1 إلى 9 كالتالي:
أ = {1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9} .
أما مجموعة الأعداد الفردية التي تقل عن 20 فهي:
ب = {1، 3، 5، 7، 9، 11، 13، 15، 17، 19}.
وهذان المثالان يبينان نماذج من المجموعات المستخدمة في الجبر.
لنفترض أن أعمار أربعة أشخاص كانت على التوالي: 12، 15، 20، 24 عاما.
عندها يمكن كتابة هذه الأعمار كمجموعة أعداد.
أ = {12، 15، 20، 24}.
كم يكون عمر كل منهم بعد ثلاث سنوات ؟ إنّ إحدى طرق الإجابة على هذا السّؤال تكون بأن نكتب 12 + 3، 15 + 3، 20 + 3 و 24 + 3. نلاحظ أن العدد 3 مكرر في كل من ¸الصيغ· الأربع. في الجبر نستطيع أن نعبر عن جميع الصيغ السابقة بصيغة مهمة واحدة هي م + 3 حيث م هو أي عدد من أعداد المجموعة أ. أي أنه يمكن استبدال أي من الأعداد 12، 15، 20 أو 24 بالرمز م. ويُسمّى الرمز م المتغيِّر، وتُسمَّى المجموعة أ مجال هذا المتغير، أما العدد 3 في الصيغة م + 3 فيسمى الثابت وذلك لأن قيمته واحدة دائما. ويُعرّف المتغيِّر في الجبر بأنه رمز يمكن التعويض عنه بعدد أو أكثر ينتمي إلى مجموعة .
التقارير والمعادلات. يُعرَف التقرير في الرياضيات بأنه جملة خبرية قد تكون صائبة أو خاطئة. وبمقدورنا تمثيل التقارير الرياضية بلغتنا اليومية وأمامنا هنا تقرير ناقص:
إن ....... هو الذي اخترع جهاز الهاتف. هذه العبارة ليست صائبة وليست خاطئة. ولكن لو وضعنا كلمة بل في الفراغ نحصل على العبارة "إن بل هو الذي اخترع جهاز الهاتف" وهذه العبارة صائبة. من الممكن أيضاً أن نستخدم متغيرًا لكتابة تقرير، كأن نكتب:
¸ص دولة يحدها البحر الأسود·
فنحن نستطيع أن نعوض عن المتغير ص بعناصر مجاله. أي نستطيع استبدال أسماء تؤدي إلى تقارير صائبة أو تقارير خاطئة بالمتغيِّر. فمثلاً:
¸المجر دولة يحدها البحر الأسود· تقرير خاطئ، إذ في الواقع لايكون مثل هذا التقرير صائبًا إلا إذا عوضنا عن المتغير ص بإحدى الدول: بلغاريا أو رومانيا، أو تركيا. فيكون التقرير ¸تركيا دولة يحدها البحر الأسود· مثلا صائبًا. وتسمى التعويضات التي تجعل التقرير صائبا جذوراً وتُسمّى المجموعة المكونة من جميع الجذور بمجموعة الحل. ومجموعة حل المثال السابق هي.{بلغاريا، رومانيا، تركيا}. وفي الجبر لانستخدم الأسماء للتعويض عن المتغيرات ولكن نستخدم الأعداد.
وتُعرف المعادلات على أنها جمل رياضية تعبر عن تساوي صيغتين. فالعبارة:
س + 7 = 12
على سبيل المثال، معادلة سهلة تعني ¸حاصل جمع العدد 7 مع عدد ما يساوي12·. ولحل هذه المعادلة نستطيع أن نقوم بالتعويض عن س بأعداد مختلفة حتى نحصل على عدد يجعل من المعادلة تقريراً صائبًا. فإذا عوضنا عن س بالعدد 5 تصبح المعادلة تقريرًاً صائبًا، وإذا عوضنا عن س بأي عدد آخر فإن المعادلة تصبح تقريرًا خاطئاً. إذن مجموعة حل هذه المعادلة هي {5} وهذه المجموعة تحتوي على جذر واحد فقط.
ومن الممكن أن يكون للمعادلة أكثر من جذر:
س ² + 18 = 9 س.
العــدد 2 أعــلى المتغيـر الأول س يعني أن العدد الممثل بالمتغير س هـو عــدد مربع، أي أنه عــدد مضروب في نفسـه مــرة واحدة. انظر: المربع. وفي هذه المعادلة نستطيع أن نعوض عن س بالعدد 3:
3 × 3 + 18 = 9 × 3
9 + 18 = 27
27 = 27
ونستطيع أيضا أن نعوض عن س بالعدد 6:
6 × 6 + 18 = 9 × 6
36 + 18 = 54
54 = 54
أمّا أي تعــويض آخـــر عن س فيجعــل المعادلة تقريراً خاطئاً. إذن 3 و 6 هما جذرا المعادلة. ومن ثم فإن مجموعة الحل هي {3 ، 6}.
كذلك توجد معادلات ليس لها جذور:
س = س + 3
إذا عوضنا عن س بأي عدد، فإن هذه المعادلة تصبح تقريراً خاطئاً، ومجموعة حلها تسمى المجموعة الخالية ويرمز لها بالرمز { }.
ولبعض المعادلات عدد غير منته (لامحدود) من الجذور.
(س + 1)² = س² + 2 س + 1
في هذه المعادلة إذا عوضنا عن س بأي عدد فإننا نحصل على تقرير صائب، ومجموعة حلها تحتوي على جميع الأعداد.
أربع طرق لحل المعادلات الجبرية
حل المعادلات. تعتبر المعادلة على الصورة س = 5 من أبسط أنواع المعادلات. لحلها، نعوض عن س في الطرف الأيمن من علامة المساواة بالعدد 5 فنحصل على 5 = 5. والمعادلات مثل 3 س - 4 = س + 6 أكثر تعقيداً من سابقتها. ولكن هناك طرقاً عديدة في الجبر يمكن استخدامها لتحويل المعادلات المعقدة إلى أخرى مبسطة، وباستخدام هذه الطرق نستطيع الوصول إلى معادلة بسيطة يسهل حلها.
لكي نبدأ في حل معادلة يجب أن نفترض أولا أنه يوجد لها حل، أي يجب أن نفرض أننا نستطيع التعويض عن المتغير بعدد يجعل من المعادلة تقريرًا صائبًا.
وباستخدام صورة الميزان نستطيع أن نصف طرق حل المعادلات، حيث كلمة ميزان هنا تعني قضيبًا مستويا له حامل في الوسط، وتوجد في كل طرف منه كفة ميزان. ومتى كانت الأوزان في كفتيه متساوية فإن القضيب يبقى مستويًا. أما إذا كان الوزن في إحدى الكفتين أثقل من الأخرى فإن أحد طرفي القضيب يميل إلى أسفل. انظر: الميزان ذو الكفة.
وتمثل المعادلة تماماً وزنين موضوعين في كفتي ميزان. فعلى سبيل المثال، في المعادلة 3 س + 2 = 11 نستطيع أن نعتبر الحد 3 س + 2 أحد الوزنين، والعدد 11 الوزن الآخر فنضع 3 س + 2 في كفة و 11 في الكفة الأخرى.
وتعني المعادلة 3 س + 2 = 11 أن ثلاثة أمثال عدد ما مضافاً إليه العدد 2 يساوي العدد 11، ولذلك يجب أن نفترض أنّ أيا من الطرفين 3 س + 2 أو 11 يوازن الطرف الآخر.
الطرح إذا كان لدينا وزنان متساويان على الميزان وأنقصنا كميتين متساويتين من طرفي الميزان فإن قضيب الميزان يبقى مستوياً. وباستخدام لغة الجبر: إذا طرحنا نفس العدد من طرفي معادلة فإن الطرفين الناتجين يكونان متساويين وتكون جميع جذور المعادلة الأصلية جذوراً للمعادلة الجديدة. وهذا يعني أننا نستطيع طرح العدد 2 من طرفي المعادلة 3 س + 2 = 11 لنحصل على:
3 س + 2 - 2 = 11 - 2
3 س = 9
وتكافئ المعادلة 3 س = 9 المعادلة 3 س + 2 = 11. وأي حل لإحداهما يعد حلاً للأخرى.
القسمة. لحل المعادلة 3 س = 9 نحتاج لتعلم قاعدة أخرى مستنتجة من الميزان. إذا كان لدينا وزنان متساويان على الميزان وأخذنا أجزاء متساوية من كل وزن فإن الأجزاء المتبقية تتساوى في الوزن. وتعني القسمة تجزئة العدد إلى أجزاء متساوية. إذا قسمنا طرفي معادلة على العدد نفسه بشرط ألا يكون العدد المقسوم عليه صفرًا فسيتساوى الطرفان الناتجان. وتكون جذور المعادلة الأصلية جذوراً للمعادلة الجديدة. وباستخدام هذه القاعدة نستطيع قسمة طرفي المعادلة 3 س = 9 على 3 لنحصل على:
3/3 س = 9/3
س = 3
إذن مجموعة الحل للمعادلات الواردة أعلاه بدءًا بالمعادلة 3 س + 2 = 11 هي {3} . ويمكنك أن تبرهن هذه بأن تضع 3 محل س في المعادلة الأصلية: فتصبح
3 × 3 + 2= 9+2 أو 11 = 11.
لنلاحظ أنه ليس باستطاعتنا أن نقسم طرفي معادلة على العدد صفر، إذ إن مثل هذه القسمة تقودنا إلى تناقضات. وتسمى الصيغة صفر - صفر في الرياضيات صيغة غير معينة. أي أننا لانستطيع الحصول على إجابة محددة لها.
الجمع. هذه قاعدة أخرى تُستخدم في حل المعادلات البسيطة، وتنص على الآتي: إذا أضفنا العدد نفسه لكل طرف من طرفي المعادلة فإننا نحصل على طرفين جديدين متساويين. ومن ثم فإن جذور المعادلة الأصلية تكون جذوراً للمعادلة الجديدة. فعلى سبيل المثال، لحل المعادلة س - 6 = 18 نستطيع إضافة 6 إلى طرفي المعادلة. المجموع س - 6 + 6 لا يختلف عن س +0 أي س كما سنرى لاحقاً و عليه فإن
س - 6 + 6 = 18 + 6
س = 24
إذن مجموعة الحل للمعادلة هي {24}.
الضرب. القاعدة الأخيرة المستخدمة في حل المعادلات البسيطة تنص على مايلي: إذا ضربنا كل طرف من طرفي المعادلة في نفس العدد فإن الطرفين الناتجين يكونان متساويين (الضرب في العدد صفر بالطبع مسموح به ولكن من الواضح أنه غير مفيد هنا). ومن ثم فإن جذور المعادلة الجديدة مساوية لجــذور المعادلة الأصلية. فعلى سبيل المثال، بضرب طرفي المعادلة 1/4 س = 5 في العدد 4 نحصل على 4× (1/4) س = 4× 5. أي س = 20. وفيما يلي توضيح للقواعد الأربع:
2/3 س - 4 = 1/4 س + 6
من المؤكد أن حل معادلة تحتوي على أعداد صحيحة أسهل من حل معادلة تحتوي على أعداد كسرية. ولذا نقوم بالتخلص من الكسرين 2/3 و 1/4 وذلك بضرب طرفي المعادلة في العدد 12 لنحصل على:
8 س - 48 = 3 س + 72
بإضافة العدد 48 إلى طرفي المعادلة نحصل على:
8 س = 3 س + 120.
وبطرح 3 س من طرفي المعادلة نحصل على:
5 س = 120
وأخيراً بقسمة طرفي المعادلة على العدد 5 نحصل على:
س = 24
إذن مجموعة الحل هي {24}.
نستطيع التحقق من صحة الحل، بالتعويض عن س في المعادلة الأصلية بالعدد 24:
2/3 × 24 - 4 = 1/4 × 24 + 6
16 - 4 = 6 + 6
12 = 12
وبما أن استخدام طرق حل المعادلة لم يؤد إلى أي حل آخر، فإن 24 هو الحل الوحيد للمعادلة.
قياس درجات الحرارة
الأعداد الموجبة والأعداد السالبة. في علم الحساب، نستطيع جمع وضرب وقسمة الأعداد الطبيعية ولكننا لانستطيع دائما طرح هذه الأعداد. فمثلاً 3 - 5 لاتعني شيئا في علم الحساب. غير أن الجبر استطاع أن يتغلب على هذه المشكلة وذلك بتوسيع نظام الأعداد الطبيعية. ففي الحساب المعتاد تمثل الأعداد المـقادير فقـط، فتحـدثنا عن كم من الأشياء في مجموعة. ولكن كثيراً من القياسات التي نواجهها في حياتنا اليومية تهتم بمعرفة كل من المقدار والاتجاه. ومن الأمثلة الجيدة على ذلك قياس درجات الحرارة حيث هناك درجات حرارة فوق الصفر وأخرى تحت الصفر. في الجبر نستخدم أعدادًا تبين الاتجاه .
وباستطاعتنا توضيح هذه الأعداد الجديدة على خط كما يلي.
نأخذ العدد صفر ليكون نقطة الأصل أو البداية. النقاط الواقعة على يسار الصفر تعين مسافة أو اتجاهًا موجبًا، هذه الأعداد تمثل درجات الحرارة فوق الصفر في المثال السابق. أما النقاط الواقعة على يمين الصفر فإنها تدل على مسافة أو اتجاه سالب، وهذه الأعداد تمثل درجات الحرارة تحت الصفر. فالنقطة أ لا تدل على العدد 1 فحسب ولكن + 1، أي العدد الموجب 1. وتدل الإشارة + على الاتجاه الموجب. كذلك تدل النقطة ب على العدد - 1، أي العدد السالب 1 وليس العدد 1 فقط. وتدل الإشارة (-) على الاتجاه السالب. وتسمى الأعداد الممثلة على خط الأعداد بالأعداد الموجبة والأعداد السالبة. ويمكن استخدام هذه الأعداد في حياتنا اليومية لتدل مثلاً على درجات الحرارة، عدد الأمتار فوق مستوى أو تحت مستوى سطح البحر، التغير في أسعار سوق الأسهم، الأرباح التجارية، وكثير من الاستخدامات الأخرى. ومقابل كل عدد موجب يوجد عدد سالب مساو له في المقدار، فالعدد 7 على سبيل المثال يعني دائما سبعة أشياء موجباً كان أم سالبا. وتعرف القيمة المطلقة لعدد بأنها القيمة الحسابية لذلك العدد. وبمقدورنا جمع وطرح وضرب وقسمة الأعداد الموجبة والسالبة معا ولكن بقواعد تختلف عن تلك المستخدمة على الأعداد في الحساب المعتاد.
الجمع. يمكن توضيح عملية الجمع بجمع العدد + 5 والعدد - 7، أي (+5) + (-7). نستطيع إجراء عملية الجمع هذه على خط الأعداد كالتالي.
خط الأعداد
لجمع العددين (+5) و (+7) على خط الأعداد نبدأ من نقطة الأصل، ونحسب خمس نقاط إلى اليسار ثم سبعاً أخرى بعد ذلك لنحصل على العدد (+12). ولجمع العددين (+5) و (-7) نبدأ من الصفر ونحسب خمس نقاط إلى اليسار لنحصل على العدد الأول، وهو (+5) وبما أن العدد الثاني (-7) نتجه بعد ذلك إلى اليمين سبع نقاط فننتهي يمين الصفر عند العدد (-2). عندئذ يكون (+5) + (-7) = -2. وتسمى الأعداد التي تحمل إشارة سالب أو إشارة موجب عادة بالأعداد ذات الإشارة.
ولجمع عددين لهما إشارة نتبع القاعدة التالية المبينة على خطوتين:
أولا: إذا كان العددان متفقين في الإشارة فإننا نجمع قيمتيهما المطلقة ونعطي الناتج الإشارة نفسها.
فعلى سبيل المثال (+5) + (+
= (+13) و (-5)+ (- = (-13).ثانيًا: إذا كان العددان مختلفين في الإشارة فإننا نطرح القيمة المطلقة الصغرى من القيمة المطلَقة الكبرى ونعطي الناتج إشارة العدد ذي القيمة المطلقة الكبرى. على سبيل المثال،
(+5) + (-
= (-3) و (-5) + (+ = (+3).الطرح. لطرح الأعداد السالبة والموجبة تذكّرْ أولاً طريقة طرح الأعداد الموجبة: المطروح منه - المطروح = الفرق. مثلا 9 - 4 = 5.
لاحظ أن المطـروح منه هـو حاصـل جمع المطروح والفرق (4 + 5 = 9).
إذن لطرح عددين لهما إشارة يجب أن نسأل ما الذي ينبغي إضافته إلى المطروح لنحصل على المطروح منه. فمثلا لإيجاد ناتج (+9) - (-4)، ما العدد الذي يمكن إضافته إلى (-4) لنحصل على العدد (+9)؟ يمكن تحويل عملية طرح الأعداد إلى عملية جمع كالتالي:
1- نغير إشارة المطروح .
2- نجمع المطروح منه والعدد الذي غُيِّرت إشارته، وباستخدام هذه القاعدة: (+9) - (-4) تصبح (+9) + (+4) وبما أن (+9) + (+4) = (+13) فإن (+9) - (- 4) = (+13). لاحظ أن مجموع المطروح والفرق يساوي المطروح منه: (-4) + (+13) = (+9). لنأخذ مثالاً آخر: (-6) - (+
. نغير أولا إشارة (+ ثم نضيف الناتج إلى المطروح منه لنحصل على: (-6) + (-
= (- 14).الضرب. قاعدة ضرب عددين ذَوي إشارة هي: نضرب القيم المطلقة للعددين. فإذا تشابه العددان في الإشارة كان الناتج موجبًا، وإذا اختلف العددان في الإشارة فإن الناتج يكون سالبًا.
(+ 3) × (+
= (+ 24)(- 3) × (-
= (+ 24)(+ 3) × (-
= (- 24)(- 3) × (+
= (- 24)القسمة. قاعدة قسمة عددين ذَوي إشارة مشابهة لقاعدة ضربهما: إذا كان العددان متشابهين في الإشارة كان خارج القسمة موجبًا، وإذا اختلفا في الإشارة كان سالباً.
(+ 24) ÷ (+ 3) = (+
(- 24) ÷ (-
= (+ 3)(+ 24) ÷ (- 3) = (-
(- 24) ÷ (+
= (- 3)وعند استخدامنا الأعداد السالبة في الجبر نقوم بتوسيع مجالات المتغيرات. فعلى سبيل المثال لايوجد حل للمعادلة س + 4 = 1 في مجموعة الأعداد الطبيعية، ولكن - 3 جذر للمعادلة في مجموعة الأعداد الموسعة. كذلك بالإمكان استخدام العمليات التي طبقناها على الأعداد ذات الإشارة، على المتغيرات التي تمثل الأعداد، فيكون بمقدورنا التعامل مع مقادير مثل (- س) أو (-ص).
كتابة الصيغ. يساعدنا الجبر على حل الكثير من المسائل التطبيقية في العلوم والهندسة وفي حياتنا اليومية. إذ من الممكن وصف العديد من الحالات التي تنشأ من الحساب بصيغ عامة؛ فمثلاً إذا كان طول غرفة 5 أمتار وعرضها 4 أمتار فإن محيطها يساوي 5 + 4 + 5 + 4 أو 2 × (5 + 4) مترًا.
أما إذا كان طول الغرفة 5 أمتار وعرضها غير معلوم فإننا نستطيع استخدام المتغير ع ليدل على العرض. وعندئذ يكون محيطها 5 + ع + 5 + ع أو 2 (5 + ع) مترًا. وبصورة عامة إذا كان لدينا غرفة طولها ل متراً وعرضها ع متراً فإننا نستطيع التعبير عن محيطها بعبارة واحدة وهي 2 × (ل + ع). وبإمكاننا حل الكثير من المسائل بمثل هذه الصيغ.
هناك بعض الحالات التي تتطلب تكوين معادلة. فعلى سبيل المثال: افترض أن سائق شاحنة قام بنقل عدد من الكتب في اليوم الأول من شهر أغسطس، ثم نقل ثلث هذا العدد في اليوم الثاني. إذا كان مجموع ما نقله في اليومين هو 6,500 كتاب، فما عدد الكتب التي نقلها في كل يوم؟
إذا فرضنا أن س هــو عــدد الكتب التي نقلها في اليوم الأول فإن 1/3 س هو عدد الكتب المنقولة في اليوم الثاني. وهكذا فإن المعادلة هي س + 1/3 س = 6,500. وبحلها نستطيع إيجاد س. بضرب طرفي المعادلة بالعدد 3 لكي نتخلص من الكسر، وبهذا نحصل على:
3 س + س = 19,500
4 س = 19,500
وبقسمة طرفي المعادلة على العدد 4 نحصل على:
س = 4,875
ويكون 1/3 س = 4,875 ÷ 3 = 1,625. إذن فقد نقل السائق في اليوم الأول 4,875 كتاباً ونقل في اليوم الثاني 1,625 كتاباً ومن ثم يكون مجموع ما نقله في اليومين 4,875 + 1,625 = 6,500.
الجبر الأساسي
بعد أن تتعلم استخدام المتغيرات والمعادلات والأعداد ذات الإشارة يصبح من السهل استيعاب المبادئ الأساسية في الجبر.
الرموز في الجبر. يدل الرمز + على عملية الجمع، غير أنه في الجبر أيضاً يعني العدد الموجب. أما الرمز - فيدل على الطرح والعدد السالب. وقد جرت العادة على استخدام الرمز (.) ليدل على عملية الضرب بدلا من × فنكتب حاصل ضرب أ و ب على الصورة، أ. ب، أو أحيانا أ ب، أو ( أ) (ب). (لاحظ أن كلا من 3. 6 و (3) (6) تعني أن العدد 3 مضروب بالعدد 6 ولكن 63 لايزال يعني العدد 63 كما في الحساب). ويُستخدم الرمز - ليدل على عملية القسمة كما هو الحال في الحساب.
ونستخدم القوسين ( )، والحاصرتين { } والمعقوفتين [ ] لحصر المقادير والأعداد. وتعرف جميعاً باسم إشارات التكديس لأننا نعامل كل ماهو محصور داخلها كمقدار واحد. وغالباً ما يكون من المهم تبسيط المقدار المحصور قبل أن نستخدمه في أجزاء أخرى من المسألة. لنتأمل المثال التالي من الأعداد.
[12 + { 4 + 5 - (5 - 3) + 4} - 4]
نبسِّط أولاً (5 - 3):
[12 + { 4 + 5 - 2 + 4} - 4]
ثم نبسط { 4 + 5 -2 + 4}:
[12 + 11 -4] = 19
بالطريقة نفسها نبسِّط الصيغ التي تحتوي على متغيرات كما في المثال التالي:
[5 س + 6س + {5 س - س + (3س + 4س)} - س]
نبسِّط أولا: {3 س + 4 س}:
[5 س + 6س + {5س - س + 7س} -س]
ثم نبسط {5س - س + 7س}:
[5س + 6س + 11س - س] = 21س
وفي بعض الأحيان يكون من الأسهل التخلص من الأقواس التي تحصر مقداراً جبريًا دون تبسيطه. ويمكن تنفيذ ذلك باستخدام قاعدتي الجمع والطرح على الأعداد ذات الإشارة. على سبيل المثال يمكن كتابة الصيغة.
أ + (ب + جـ) على الصورة أ + ب + جـ
ولتوضيح ذلك نلاحظ أن التعبير 40 + (8 - 2) يعني أن العدد 8 - 2 أو 6 مضاف إلى العدد 40، أو 40 + 6. وبإسقاط الأقواس يكون 40، + 8 - 2 أو 48 - 2 مساوياً للصيغة المبسطة 40 + 6. إذا وجد أمام مقدار جبري بين قوسين إشارة + فبإمكاننا إزالة القوسين دون أن نغير إشارات المقادير التي بداخلها. على هذا فإن أ + (- ب - جـ) تصبح أ + (- ب) - جـ أو أ - ب - جـ.
أما إذا كان المقدار الجبري بين القوسين مسبوقاً بإشارة - فيجب أن نغير إشارات كل الكميات داخل القوسين بعد إزالتهما. فمثلا التعبير 6 - (-
يصبح 6 + 8 أو 14 أي أننا نحول مسألة الطرح إلى مسألة جمع. وكمثال آخر: 6 - (+ يصبح 6 + (- أو 6 - 8 = - 2. وإذا كان هنالك أكثر من مقدار بين القوسين فينبغي أن نغير إشارة كل واحد منهما. فمثلا 6 - (-3 + 2) يصبح 6 + 3 - 2 أو 7. وكقاعدة نستطيع أن نكتب أ - ( ب + جـ) بالشكل أ - ب - جـ.أما إذا أردنا أن نغير إشارات المقادير أو الأعداد فإننا نعكس العملية فنقوم بوضعها داخل قوسين. فمثلاً يمكننا كتابة 8 + 7 على الصورة - (-8-7). و 8 + 4 - 6 على الصورة 8 - (-4 + 6).
القوانين الأساسية. هناك خمس قوانين أساسية في الجبر تحكم عمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة. ويعبَّر عنها باستخدام متغيرات يمكن التعويض عنها بأي عدد كان. وهذه القوانين هي:
1- الخاصية الإبدالية للجمع. وتكتب س + ص = ص + س. وتعني أن الترتيب غير مهم عند جمع عددين إذ إن النتيجة واحدة. فمثلاً 2 + 3 = 3 + 2 و (-
+ (- 36) = (-36) + (-.2- الخاصية التجميعية للجمع. وتكتب س + (ص + ع ) = (س + ص) + ع، وتعني أنه عند جمع ثلاثة أعداد أو أكثر، فإنه يمكن جمع أي تشكيل منها أولاً، ثم إكمال الجمع دون أن يتأثر الناتج النهائي، فمثلا 2 + (3 + 4) = (2 + 3) + 4 أو 2 + 7 = 5 + 4.
3- الخاصية الإبدالية للضرب. وتكتب س ص = ص س. وتعني أن الترتيب غير مهم عند ضرب عددين إذ إن النتيجة واحدة. فمثلاً (2) (3) = (3) (2) و (-
(- 36) = (-36) (- .4- الخاصية التجميعية للضرب. وتكتب س (ص ع) = (س ص) ع. وتعني أنه عند ضرب ثلاثة أعداد أو أكثر فإنه يمكن ضرب أي تشكيل منها أولا، ثم إكمال الضرب دون أن يتأثر الناتج النهائي. فمثلا 2 (3 × 4) = (2 × 3) 4 أو 2 (12) = (6) 4.
5- خاصية توزيع الضرب على الجمع. وتكتب:
س (ص+ع) = س ص + س ع.
نوضح هذه الخاصية المهمة في الجبر بالمثال التالي:
3 (4+ 5) = (3 × 4) + (3 × 5). إن حاصل ضرب عدد في مجموع عددين مثل 3 (4 + 5) أو 3 × 9 يساوي مجموع حاصل ضرب العدد بأحد العددين وحاصل ضرب العدد بالعدد الثاني. لاحظ أن:
3 (4 + 5) = 3 (9) = 27 وكذلك.
(3 × 4) + (3 × 5) = 12 + 15 = 27.
تعريفات أخرى. من المهم أن نعرف بعض الكلمات الأخرى المستخدمة في الجبر. فالمقدار س²- 2س ص+ص يحتوي على ثلاثة أجزاء ترتبط بعمليتي الجمع أو الطرح، يُسمى كل جزء منها حداً. ويُسمى المقدار الجبري المكون من حد واحد فقط بوحيد الحد، فمثلا 5 س ص وحيد الحد، على الرغم من أنه يحتوي على ثلاثة عناصر (5، س، ص) مضروبة بعضها مع بعض يسمى كل منها عاملا. ويعرف المقدار ذو الحدين بأنه المقدار المكون من حدين بينهما إشارة جمع أو طرح، فمثلاً كل من س+ ص و 3أ²- 4ب ذات حدين. أما متعددة الحدود فهي المقدار المكون من حدين أو أكثر مرتبطة فيما بينها بإشارة جمع أو طرح، فمثلاً س - ص + ع متعدد الحدود. لاحظ أن ذات الحدين ليست إلا حالة خاصة من متعدد الحدود.
ويعني وضع المقادير جنباً إلى جنب في الجبر أنها مضروبة، فيدل التعبير 5 أ على حاصل ضرب أ في خمسة ويُسمى العدد 5 معامل أ. وبما أن 5 مضروب في الرمز أ ففي الجبر يسمى أ معاملا للعدد 5.كذلك في الصيغة أ (س+ ص) أ هو معامل (س + ص) و (س + ص) هو معامل أ. ولما كان أ = 1 × أ فإن بإمكاننا على الدوام استبدال أ بالصيغة 1 أ.
الجمع. تشبه عملية الجمع في الجبر إلى حد كبير مثيلتها في الحساب. فمثلاً حاصل جمع أ و أ هو 2 أ. نسمي أ و 2 أ حدين متشابهين وذلك لأنهما يحتويان المتغير نفسه. ولجمع كميتين جبريتين متشابهتين أو أكثر نستخدم خاصية توزيع الضرب على الجمع، فمثلاً.
2 س + 3 س + 4 س هو (2 + 3 + 4) س أو 9 س، إلا أننا لانستطيع التعبير عن حاصل جمع كميتين غير متشابهتين بحد واحد. فمثلا حاصل جمع أ و ب يكتب أ + ب. ولجمع 3 أ، 4 ب ، 6 أ و ب نستخدم خاصتي الإبدال والتجميع لعملية الجمع. ومن الواضح أن هاتين الخاصتين تساعداننا على جمع أية سلسلة من الحدود مكتوبة بأي ترتيب. وبتجميع الحدود المتشابهة نجد أن:
3 أ + 6 أ = 9 أ و 4 ب + ب = 5 ب .
إذن 3 أ + 4 ب + 6 أ + ب = 9 أ + 5 ب.
وبالإمكان تنظيم الحل على النحو التالي:
ولجمع مقادير غير متشابهة سالبة كانت أم موجبة نقوم باستخدام خاصة توزيع الضرب على الجمع. لنوضح هذا الاستخدام بجمع:
(2أ§ - ب²جـ + 6 ب د² + 2 د§) و
(4أ§ + 3ب²جـ - 4 ب د² - 3 د§) و
(3أ§ + 2ب²جـ + 2 ب د² - 4 د§) و
(-2أ§ - 8ب²جـ + 6 ب د² + 6 د§).
والعدد 3 الذي يظهر في الحدود مثل 2أ§ يعني أن المتغير أ مضروب في نفسه ثلاث مرات. انظر: المكعب. وقبل إجراء عملية جمع هذه المقادير نرتب الحدود في أعمدة.
ولتفسير ذلك نوضح عملية جمع العمود الثاني. هذا العمود هو:
- ب² جـ + 3ب²جـ + 2 ب² جـ - 8 ب² جـ
لاحظ أن كل حد من هذه الحدود هو حاصل ضرب عدد في ب² جـ. ومن ثم فإننا نضيف معاملات هذه الحدود وهي: -1، +3، +2، -8 لنحصل على الجواب. أي أن:
- ب² جـ + 3ب²جـ + 2 ب² جـ - 8 ب² جـ
= (-1 + 3 + 2 -
ب² جـ = -4ب²جـ .والطريقة نفسها استخدمت لجمع الأعمدة الثلاثة الأخرى.
الطرح. في الجبر نستخدم للطرح القاعدة نفسها المستخدمة للأعداد ذات الإشارة. فعند طرح كمية جبرية من كمية أخرى نغير إشارة المطروح ونجمع الكميتين. فمثلا 8 أ - 3 أ هي في الحقيقة (+
أ - (+ 3) أ وذلك لأننا عادة لانكتب الإشارة الموجبة. ولتغيير مسألة الطرح هذه إلى مسألة جمع فإن الكمية (+أ - (+3) أ تصبح (+ أ + (- 3) أ أي 5 أ. ومسألة الطــرح (2أ§ - ب² جـ + 6 ب د² + 2د§) - (4أ§+ 3ب²جـ -4ب د² - 3د§) أصعب قليلا. أولاً نرتب الحدود المتشابهة ونضع كلاً في عمود منفصل.2أ§ - ب²جـ + 6 ب د² + 2 د§
4أ§ + 3ب²جـ - 4 ب د² - 3 د§
ثم نطرح معاملات الحدود المتشابهة، وذلك بتغيير إشارات حدود المطروح والجمع:
2أ§ - ب²جـ + 6 ب د² + 2 د§
-4أ§ - 3ب²جـ + 4 ب د² + 3 د§
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
-2أ§ - 4 ب²جـ + 10 ب د² + 5 د§ .
الضرب. يُشار إلى عملية الضرب في الجبر عادة بكتابة مقدارين أو أكثر جنباً إلى جنب دون وضع إشارة ضرب بينهما، فمثلاً أ × ب تكتب أ ب. وعند تكرار عدد أو متغير أكثر من مرة فإننا نختصر الكتابة، فمثلاً نكتب المقدار أ ب² بدلاً من أ ب ب و أ ب ¨ بدلا من أ ب ب ب ب. والعدد المكتوب فوق المتغير ب يسمى أساً ويدل على عدد مرات ضرب المقدار في نفسه. فنحن نكتب أ² ويسمى مربع أ بدلاً من أ × أ وكذلك أ§ ويسمى مكعب أ بدلاً مـن أ × أ × أ. كذلك أ ¨ ليس إلا أأأأ و أ¹ هو أأأأأ. وبمقدورنا أن نعتبر أن أس المتغير الذي يظهر كعامل مرة واحدة هو 1 وإذا دعت الحاجة لجمع أو طرح الأسس فبإمكاننا أن نكتب أ¥ بدلاً من أ.
وعند ضرب متغيرات متشابهة نجمع أسسها. ومع أن من الواضح أن ب² ×ب§ هو (ب×ب)×(ب× ب × ب) أي ب¹ غير أنه من الأيسر أن نجمع الأسين:
ب² × ب§ = ب²+§ = ب¹ لاحظ أنك لا تستطيع جمع الأسس في المقدار أ² × ب² وذلك لأن أ و ب قد يمثلان عددين مختلفين.
ويسمى المقدار مثل أ ب جـ د، ب جـ² د س حاصل الضرب. كما تسمى المقادير التي تشكل حاصل الضرب العوامل. فمثلا أ، ب، جـ ، د هي عوامل أ ب جـ د. وإذا أردنا ضرب أ ب جـ د، ب جـ² د س فإننا نجمع أسس العوامل المتشابهة. ففي (أ ب جـ د) (ب جـ² د س) نجد أن أ يظهر مرة، ب مرتين، جـ ثلاث مرات، د مرتين و س مرة فيكون:
(أ ب جـ د) (ب جـ² د س) = أ ب² جـ§ د² س. حيث مكنتنا الخاصية الإبدالية للضرب من إجراء عملية الضرب بأي ترتيب نشاء.
ولضرب مقدار جبري يحتوي على حدين أو أكثر بحد واحد، فإننا نستخدم خاصية توزيع الضرب على الجمع: س (ص + ع) = س ص + س ع. ولعل عملية الضرب (3 ب د) (5ب² جـ + 2د) تبين استخدام هذه الخاصية حيث نقوم بتعديل الطريقة المستخدمة في الحساب لإجراء هذه العملية فنكتب:
لاحظ أننا ضربنا الحد 3 ب د بالحد 5 ب² جـ ووضعنا الناتج 15 ب§ جـ د ليكون الحد الأول في حاصل الضرب، ثم ضربنا الحد 3 ب د بالحد2 د ووضعنا الناتج 6 ب د² كحد ثان في حاصل الضرب. وبالتالي فإن حاصل الضرب الكلي هو 15 ب§ جـ د + 6 ب د² .
ويكون الأمر أكثر صعوبة عند ضرب مقدارين كل منهما مكون من حدين أو أكثر. فمثلا نجري عملية الضرب (أ² - 2 أ ب + ب²) (أ - ب) على النحو التالي:
أولا نضرب كل حد من حدود المقدار المضروب بالحد الأول من المقدار المضروب منه، ونكتب ناتج عملية الضرب هذه كجزء من الجواب. ثم نضرب كل حد من حدود المضروب بالحد الثاني من المضروب منه، ونكتب ناتج عملية الضرب هذه في سطر آخر تحت الجزء الأول (مع مراعاة وضع الحدود المتشابهة في عمود واحد). وأخيرا نجمع السطرين لنحصل على الجواب النهائي. لاحظ أن ترتيب الحدود المتشابهة بأعمدة يسهِّل عملية الجمع النهائية.
القسمة. عملية القسمة في الجبر هي عكس عملية الضرب. ولما كنا نجمع الأسس عند ضرب الحدود المتشابهة فإنه ينبغي عند قسمة حدين متشابهين أن نطرح أس المقسوم عليه من أس المقسوم. فمثلاً:
ب ب ب ب ب ÷ ب ب = ب ب ب أو:
ب¹ ÷ ب² = ب §. من الأسهل طرح الأسس:
ب¹ ÷ ب² = ب¹ ¯ ² و ب¹ ¯ ² = ب§.
تذكر دائماً أنك تتعامل مع أسس وأنك لاتقسم ب¹ على 2.
لنأخذ مثالا أكثر صعوبة:
(3 س ¨ ص² ع - 9س§ ص ع²- 6 س² ص§) ÷ (3 س² ص) يجب أن نقسم هنا كل حد من حدود المقسوم على المقسوم عليه. ولإتمام ذلك نسأل عن الحد الذي نضربه بالحد (3 س² ص) ليعطينا الحد المطلوب من المقسوم. مثلا ماهو الحد الذي إذا ضربناه بالحد (3 س² ص) يعطينا الحد (-9 س§ ص ع²) ؟. والجواب هو (- 3 س ع²) وباستخدام هذه الطريقة نجد أن:
(3 س ¨ ص² ع - 9 س§ ص ع² - 6 س² ص§) ÷ (3س² ص) = (س² ص ع -3 س ص² - 2 ص²).
لنأخذ مثالا آخر:
(12أ² + 18 أ ب + 6 ب²) ÷ ( 4أ + 2 ب).
لحل هذه المسألة تستخدم طريقة القسمة المطولة وهي تشبه الطريقة المتبعة في قسمة الأعداد:
نقسم أولا الحد الأول من المقسوم على الحد الأول من المقسوم عليه (12أ² ÷ 4أ = 3أ). نكتب الناتج وهو 3أ ليكون الحد الأول من خارج القسمة. نضرب الآن كل حد من حدود المقسوم عليه في الحد 3 أ أي أن:
3 أ (4 أ + 2 ب) = (12 أ² + 6 أ ب).
نكتب هذا الناتج تحت المقسوم، ونطرح، ثم نكتب حاصل الفرق وهو 12 أ ب + 6 ب². نقسم الآن 12 أ ب على الحد الأول من المقسوم عليه وهو 4 أ (12 أ ب - 4أ = 3ب). نكتب الناتج بإشارته (+ 3 ب) ليكون الحد الثاني من خارج القسمة. نضرب الآن كل حد من حدود المقسوم عليه بالحد 3 ب:
3 ب (4 أ + 2 ب) = (12 أب + 6ب²)
ثم نضع هذا الناتج تحت 12 أ ب + 6 ب² ونطرح لنجد أن حاصل الفرق هنا صفر. عند ذلك تتوقف عملية القسمة ونكون قد حصلنا على خارج القسمة 3 أ + 2 ب دون باق.
التحليل. يشبه التحليل إلى حد ما القسمة. فمثلاً:
(4أ + 2ب) و (3 أ + 3 ب) هما عاملان للمقدار 12أ² + 18 أ ب + 6 ب² لأننا إذا ضربنا (4أ + 2ب) (3أ + 3ب) نحصل على 12أ² + 18 أب + 6ب². ويعني التحليل كتابة مقدار جبري في شكل حاصل ضرب عوامل. من الممكن أن يكون لصيغة ما أكثر من تحليل. فمثلاً كل من 2 × 12، 3 × 8 و 4 × 6 هو تحليل للعدد 24. وتكمن أهمية التحليل في الجبر في استخدامه لتبسيط المقادير المعقدة. انظر: العامل الحسابي.
استخدام المعادلات
مثال الإسمنت
الدوال. تعتمد الكمية التي تستهلكها طائرة من الوقود على سرعتها. وتعتمد قيمة الطوابع اللازمة لوضعها على طرد بريدي على وزن الطرد. وفكرة اعتماد شيء على شيء آخر من الأفكار المهمة في الرياضيات، وتسمى علاقة بين شيء وآخر. وتسمى العلاقات بين متغيرات في الجبر بالدوال. فالدالة بين متغير وآخر تعني أن قيمة أحد المتغيرين تعتمد على قيمة الآخر.
ويمكن توضيح فكرة الدالة عن طريق تقديم أمثلة مألوفة. لنفرض وجود أساس من الإسمنت يرتفع 16 سم فوق سطح الأرض، وأننا نريد أن نبني 6 طبقات من الحجر فوق هذا الأساس بحيث يكون ارتفاع كل منها 8 سم. في كل مرة ننتهي من بناء طبقة تحدث زيادة في الارتفاع الكلي.
لنرمز لعدد الطبقات بالرمز س وللارتفاع بالرمز ص. يوضح الجدول التالي العلاقة بين عدد الطبقات والارتفاع:
جدول يمثل العلاقة بين عدد الطبقات والارتفاع
وباستطاعتنا التعبير عن هذا الجدول بالرسم البياني.
الرسم البياني للعلاقة بين عدد الطبقات والارتفاع
لنفرض أننا نقيس قيم س و ص على خطين مثل المسطرة. أحد هذين الخطين أفقي ويمثل قيم س، والآخر رأسي ويمثل قيم ص. نسمي هذين الخطين محوري الإحداثيات ونقوم الآن بتمثيل كل زوج من قيم الجدول بنقطة على المنحنى ذي 7 نقاط.
التمثيل على محور الإحداثيات
ويمكن كتابة معادلة تصف هذا الخط من النقاط، وهذه المعادلة هي ص = 8 س + 16. فمثلاً إذا كانت س = 2 فإن ص = 8(2) + 16 = 32. وإذا كانت س = 5 فإن ص = 8 (5) + 16 = 56. من السهل أن نرى كيف تتوافق هذه المعادلة مع القيم الموجودة في الجدول. إن مجال ص في هذه المعادلة هو مجموعة الأعداد {صفر، 1، 2، 3، 4، 5، 6}. وتسمى مجموعة قيم ص بمدى ص، وهي مجموعة الأعداد {16، 24، 32، 40، 48، 56، 64}. وفي الرياضيات، تعرف العلاقة بين مجموعتين من الأعداد على أنها مجموعة من الأزواج المرتبة. وتكتب هذه المجموعة كالتالي:
{(س، ص) (صفر، 16)، (1، 24)، (2، 32)، (3، 40)، ...، (6، 64)}.
هذه المجموعة من الأزواج المرتبة دالة. وتسمى دالة متقطعة لأننا لانستطيع تمثيلها بخط متصل. لاحظ أن هذه الدالة ممثلة بنقاط في الرسم أمامنا.
مثال حوض الأحياء المائية
ليكن لدينا حوض للأحياء المائية ارتفاعه 36 سم ويرتفع قاعه بمقدار 20 سم عن الأرض، ولنفرض أنه عند صب الماء في الحوض يزيد ارتفاع سطح الماء بمقدار 4 سم كل دقيقة. هذا يعني أن ارتفاع الماء عن الأرض يعتمد على الزمن الذي ينسكب فيه الماء. لنرمز لعدد دقائق انسكاب الماء بالرمز س ولارتفاع الماء عن الأرض بالرمز ص. الجدول التالي يعطينا بعض قيم س و ص
جدول يمثل العلاقة بين ارتفاع حوض الماء و الدقائق
إذا مثلنا هذه العلاقة على الرسم باستخدام الإحداثيات فإننا نحصل على مستقيم متصل وذلك لأن ارتفاع ص يتزايد تزايداً متصلاً.
والمعادلة التي تمثل هذا الخط المستقيم هي: ص = 4 س + 20. فإذا كانت س = 2 مثلا فإن ص = 4 (2) + 20 = 28، ومن السهل أن نرى كيف تتوافق هذه المعادلة مع القيم الموجودة في الجدول. إن مجال ص هو جميع الأعداد بين صفر و 9 ومدى ص هو جميع الأعداد بين 20 و 56 وتسمى هذه الدالة بالدالة الخطية لأنها متصلة ويمكن تمثيلها بخط مستقيم. أما المعادلة ص = 4 س+ 20 فتسمى معادلة خطية. وتعتبر دراسة المعادلات الخطية من بين أكثر المواضيع أهمية في الجبر.
حل المعادلات الخطية في متغيرين. المعادلة ص = 4 س + 20 معادلة خطية، ومن الخط المتصل الذي يمثل هذه المعادلة نستنتج أن لهذه المعادلة حلولاً عديدة، أي أنه يوجد عدد كبير من الأزواج المرتبة التي تجعل ص = 4 س + 20 تقريراً صائباً. ويظهر في هذه المعادلة متغيران س و ص. وبما أن للمعادلات الخطية حلولاً كثيرة فإننا نضع في الغالب بعض القيود على هذه الحلول، لأنه في بعض الأحيان نستخدم هذه المعادلات لإيجاد حلول لمسائل تطبيقية. ولكي يتم ذلك فلا بد من إيجاد وسيلة نقصر بها حلول المعادلة على حل واحد فقط. وإحدى الطرق المستخدمة هي أن نجد معادلتين تكونان صائبتين لزوج مرتب واحد فقط. وهناك طريقة أخرى تستخدم فيها معادلة واحدة لكن مع حصر الحلول في الأعداد الصحيحة الموجبة.
ولتوضيـح الطـريقة الأولى نأخذ المعادلتين 2 ص = س + 4 و ص + س = 5. نستخدم الرسم البياني لحل هاتين المعادلتين ولكن ننشىء أولا جدولا يحتوي قيماً لبعض حلول كل من المعادلتين .
نعين هذه القيم على الرسم البياني، ثم نرسم الخط الذي يمثل كل معادلة من هاتين المعادلتين. نجد أن الخطين يتقاطعان في نقطة، ونقطة تقاطعهما تمثل مجموعة حل المعادلتين معًا. وهذه النقطة هي (2، 3). أي أن قيمة س هي 2 وقيمة ص هي 3. هاتان القيمتان فقط هما قيمتا س و ص اللتان تعطيان حلاً للمعادلتين معاً.
نستطيع أيضاً أن نجد حلاً لمعادلتين خطيتين بطريقة حذف أحد المتغيرين. وهذه الطريقة تنتج لنا معادلة واحدة تحتوي على متغير واحد. نستخدم المعادلتين 2 ص = س + 4 و ص + س = 5 لتوضيح هذه الطريقة. هناك عدة طرق لحذف متغير، ونستخدم هنا طريقة تعرف بطريقة التعويض. ونستخدم إحدى المعادلتين لنضع ص بدلالة س ولتكن ص + س = 5. إذن ص = 5 - س. نعوض الآن عن ص في المعادلة الثانية 2 ص = س + 4 لنحصل على 2 (5 - س) = س + 4. ولتبسيط هذه المعادلة نجد أن 10 - 2 س = س + 4، أي 3 س = 6 ومنها س = 2. نعوض الآن عن قيمة س في أي من المعادلتين ونوجد قيمة ص فنحصل على ص = 3. 2ص = 2+4 وص + 2 = 5 وبالتالي فإن مجموعة الحل هي {(2 ،3)}.
مثال الديوك الرومية
من الممكن أيضاً أن نجد حلول معادلة في متغيرين بقصر مجموعة الحل على الأعداد الصحيحة الموجبة. ويمكن توضيح ذلك بالمثال التالي: اشترى رجل عدداً من الديوك الرومية والبط. إذا كان وزن كل ديك رومي 5 كجم ووزن كل بطة 2 كجم، ومجموع ما اشتراه الرجل 31 كجم، فما عدد الطيور التي اشتراها من كل نوع ؟
لنفرض أن س يمثل عدد الديوك الرومية و 5 س وزنها، ولنفرض أن ص يمثل عدد البط و 2 ص وزنها. ومن ثم يمكن صياغة المسألة على صورة المعادلة 5 س + 2ص = 31. من الواضح أن كلاً من س و ص يجب أن يكون عدداً صحيحًا موجباً لأننا لانستطيع شراء جزء من طير. وبما أن 2 ص عدد زوجي فإن س يجب أن يكون عدداً فردياً. وبالتعويض عن س بقيم فردية نجد أن مجموعة حل المعادلة هي:
{(1، 13) ، (3،
، (5، 3)}. أي أن الرجل يمكن أن يشتري: ديكاً رومياً واحداً و 13 بطة أو 3 ديوك رومية و 8 بطات
أو 5 ديوك رومية و 3 بطات.
لاحظ أنه لايمكن التعويض عن س بالعدد 7 لأن قيمة ص حينئذ تكون - 2. انظر: المحدد. لمعرفة طريقة أخرى لحل المعادلات في متغيرين.
معادلات الدرجة الثانية في متغير واحد. معادلة الدرجة الثانية (المعادلة التربيعية) هي معادلة يكون المتغير فيها مربعاً. فمثلاً س² - 8س = -16 معادلة من الدرجة الثانية في متغير واحد، نستطيع دائماً أن نضع معادلة الدرجة الثانية على الصورة:
أ س² + ب س + جـ = صفر
وتسمى القيم أ ،ب، جـ المعاملات وهي قيم ثابتة معلومة و س متغيرًا مجهولاً، وأبسط صورة لهذه المعادلة هي المعادلة التي يكون فيها أ = 1 وب =صفر. فمثلاً إذا كان أ=1، ب=صفر وجـ =-36 فإن المعادلة تأخذ الصورة س² -36 = صفر. أي أن س² = 36 ومجموعة الحل هي ( -6، 6 ).
أما إذا كان ب لا يساوي صفرًا، فإن هناك ثلاث طرق لحل معادلة الدرجة الثانية.
الطريقة الأولى هي تحليل المعادلة بعد وضعها على الصورة
أ س²+ ب س + جـ = صفر. فمثلاً لحل س² + 8س + 15 = صفر، نحلل الطرف الأيمن لهذه المعادلة:
س² + 8س +15=(س + 3) (س + 5). ومن ثم فإن (س+3) (س+5) =صفر. لاحظ أنه إذا كان حاصل ضرب عددين يساوي صفرًا، فإنه إما أن يكون الأول صفراً أو الثاني صفرًا. وإذا كان س+5=صفر فإن س=-5 وبالمثل إذا كان س + 3 = صفر فإن س = -3. إذن مجموعة حل المعادلة س² + 8 س+15=صفر هي {-3، -5}.
الطريقة الثانية لحل المعادلة تعرف بطريقة إكمال المربع. تسمى الصيغة أ²+2أ ب+ب² بالمربع الكامل لأننا نستطيع كتابتها على الصورة ( أ + ب)².
نستطيع دائماً أن نضع أية معادلة من الدرجة الثانية مثل س² + 8 س + 15 = صفر بحيـث يكـون الطــرف الأيمن مربعاً كامـلاً. ولرؤية ذلك نعيـد كتابة المعادلـة س²+ 8 س + 15 = صفر لتصبح س² + 8س= -15. نعلم أن س² + 8 س +16 مربع كامل لأنـنا نستطيـع أن نكتبـه على الصـورة (س + 4)². إذن نضيف 16 لطرفي المعادلة س² + 8 س = -15. ولنحصل على س² + 8س + 16 = -15 + 16. بالتحليل نحصل على (س + 4)² =1. ويسمى أحد العاملين المتساويين الجذر التربيعي . انظر: الجذر التربيعي. وفي المعادلـة (س + 4)² = 1 نجــد أن س + 4 هو الجذر التربيعي للعدد 1، ولكن الجذر التربيعي للعدد 1 هو العدد 1 أو العدد - 1. إذن س + 4 = 1 أو س + 4 = - 1، أي س = - 3 أو س = - 5. وبالتالي فإن مجموعة الحل للمعادلة س² + 8 س + 15 = صفر هي {-3، -5}.
أما الطريقة الثالثة لحل المعادلة من الدرجة الثانية في متغير واحد فتتمُّ باستخدام قانون في الرياضيات هو:
حيث نحصل على المعاملات أ، ب، جـ من المعادلة من الدرجة الثانية التي تكون على الصورة أ س² + ب س + جـ = صفر. و بتعويض هذه القيم في المعادلة نستطيع أن نجد قيم س. الرمز + في القانون يعني اختيار الإشارة الموجبة مرة والسالبة مرة أخرى. وهذا يعني أننا نحصل دائمًا على جذرين للمعادلة.
نبذة تاريخية
استخدم الصينيون والفرس والهنود الجبر قبل آلاف السنين، ومن المحتمل أيضا أن يكون البابليون قد عرفوا شيئًا من الجبر. وأول دليل على استخدام الجبر يعود للرياضي المصري أحمس الذي عاش نحو عام 1700 ق.م، أو قبل ذلك. وبعد ذلك بقرون طويلة ساهم الإغريق في تطور الجبر، حيث استخدم الرياضي الإغريقي ديوفانتوس الذي عاش في القرن الثالث الميلادي معادلات الدرجة الثانية ورموزاً لكميات غير معلومة. ولقد أطلق على ديوفانتوس لقب أبي الجبر.
لقد كان للعرب مساهمة كبيرة في تطور الجبر، حيث استخدموا الإشارات الموجبة والسالبة، وطوروا الكسور بصورة مقاربة جداً لما هي عليه الآن. فقد اخترع العرب الصفر في القرن التاسع الميلادي، ويعتبر ذلك من أعظـم التطورات في تاريخ الرياضيات. وبين عامي 813 و 833م جمع العالم الرياضي الخوارزمي الذي كان مدرساً للرياضيات في بغداد أعمال الرياضيين الهنود والعرب في مادة الجبر وطورها. وقد أخذت كلمة الجبر التي تعني التعويض بمفهوم حل المعادلات من عنوان كتاب الخوارزمي المشهور الجبر والمقابلة. وقدم الخوارزمي في هذا الكتاب حلولاً هندسية وجبرية لمسائل طرحها الإغريق، وقد قصد الخوارزمي بالجبر ¸نقل الحدود من أحد طرفي المعادلة إلى الطرف الآخر، وقصد بالمقابلة اختصار ما يمكن اختصاره بعد عملية الجبر ثم إيجاد نتيجة المعادلة·. وقد أطلق على المجهول س اسم الجذر وعلى س² اسم مال وعلى س§ اسم كعاب وعلى س4 مال المال. انظر: الخوارزمي، أبو جعفر؛ العلوم عند العرب والمسلمين (الرياضيات). وقد كتب عمر الخيام الشاعر والعالم الفلكي الفارسي الذي عاش في الفترة بين 1050 م و 1123 م كتاباً في الجبر. انظر: عمر الخيام.
وخلال العصور الوسطى كان التقدم في الجبر بطيئاً. وبدأ اهتمام الأوروبيين بالجبر في القرن السادس عشر الميلادي حين بدأ العلماء يقتنعون بأهميته. وقد ساهم بعد ذلك كثير من علماء الرياضيات في تطور الجبر.
ونتج عن اكتشاف الحاسوب تغيرات مهمة في دراسة واستخدامات الجبر؛ لأنّ بإمكان برامج الحاسوب القيام بمعظم خطوات حل المسائل الجبرية. فمثلا نستطيع استخدام هذه البرامج لحل المعادلات الخطية ومعادلات الدرجة الثانية بسهولة تامة. ونتيجة لذلك فمن المتوقع أن يتغبر أسلوب تدريس مادة الجبر؛ فبدلاً من تدريس المهارات الأساسية التي تساعد على حل المسألة الجبرية فمن الممكن التركيز على مفاهيم مادة الجبر.
أسئلة
كيف يساعد استخدام المتغير على حل المسألة الرياضية ؟
كيف يمكن أن نقارن بين المعادلة والميزان؟
ماذا نعني بجذر أو جذور معادلة ؟
كيف تستطيع الأعداد في الجبر أن تحدد القيمة والاتجاه؟
ما قاعدة ضرب الأعداد الموجبة والسالبة ؟
كيف تستطيع ضرب المتغيرات المتشابهة المرفوعة لقوى ؟ مثلاً (5 ص ¨) (3 ص²) .
كيف يمكن تمثيل الدالة برسم بياني ؟
ما الخاصية الإبدالية للضرب ؟
ما الطرق المستخدمة في حل معادلات الدرجة الثانية في متغير واحد؟
من أين جاءت تسمية الجبر ؟
ما دور الخوارزمي في تأسيس علم الجبر؟
الاستاذ عبد الواحد
