قانون توازي الاضلاع

إذا كان ABCD متوازي أضلاع فإن مجموع مربعي القطرين يساوي ضعف مجموع مرعي ضلعين متتاليين فيه. أي أن



تسمى هذه المتطابقة قانون متوازي الأضلاع.



سنثبت هذا القانون عن طريق قانون جيب التمام cos في مثلث. بتطبيق قانون جيب التمام على كل من المثلث ABC والمثلث ABD ينتج المتطابقتين التاليتين تواليا










معلوم أن . كذلك من خصائص متوازي الأضلاع وهذا يقتضي أن




بجمع (1) , (2) مع ملاحظة فإن الحد الثالث في كل معادلة يلاشي نظيره ونحصل على قانون المتوازي.





قانون متوازي الأضلاع في فضاء الضرب الداخلي



فضاء الضرب الداخلي inner product spaces هو الفضاء الخطي المزود بعملية ضرب داخلي حيث u,v متجهين . فإذا عرفنا



لأي متجه x في فضاء الضرب الداخلي فإنه وفق هذا التعريف تصح المتطابقة التالية







وتسمى قانون متوازي الأضلاع. وهي بالفعل تعميم لقانون متوازي الأضلاع الهندسي . ربما اقرب مثال لفضاء ضرب داخلي يتضح من خلاله ارتباط هذه المتطابقة بشكل متوازي الأضلاع هو فضاء الضرب الداخلي (القياسي) لمتجهين في المستوي. فإذا كان u, v متجهين في المستوي فإن جمعهما وطرحهما يمثلان القطرين لمتوازي الأضلاع الممثل في الشكل أدناه.





مسائل

1. بين أن قانون المتوازي يعتبر تعميما لنظرية فيثاغورس, (بمعنى أن نظرية فيثاغورس حالة خاصة من هذا القانون)

2. بين أنه لأي u,v من فضاء ضرب داخلي X فإن




الاستاذ عبد الواحد

روعه

رائع