من طرف التطابق. تتناول العديد من المسلمات المهمَّة والنظريات الهندسيَّة العديد من الحقائق المتعلِّقة بالأشكال المتطابقة. والأشكال المتطابقة هي الأشكال التي لها نفس الشكل والحجم. ولمفهوم التطابق أهميته في عدة مجالات في الحياة. فعلى سبيل المثال، عند تصنيع السيارات على نطاق واسع فإن المصدات الواقية للسيارات من الطراز ذاته متطابقة، إذ لو لم تكن متطابقة فلن يستطيع العمال تجميع مقدمة ذلك الطراز من السيارات بكفاءة.
وأبسط أنواع الأشكال المتطابقة هي القطع المستقيمة والزوايا المتساوية. وبما أن كل المستقيمات لها نفس الشكل فإن القطع المستقيمة المتطابقة تُعرَّف على أنها القطع المستقيمة المتساوية الطول. ونقول عن زاويتين أنهما متطابقتان إذا كان قياسهما واحدًا. وكما يبيِّن الرسم أدناه، على سبيل المثال، فالزاوية ج د هـ تطابق الزاوية س ص ع إذ إن قياس كلٍّ منهما 45°. وللتعبير عن علاقة التطابق هذه نرمز لها بـ< ج د هـ =< س ص ع.
لإثبات تطابق مثلثين علينا أن ننشئ تناظرًا بين رؤوس المثلثين ـ أي نقاط التقاء الأضلاع ـ وكذلك بين أضلاع المثلثين. بعبارة أخرى علينا أن نجد تقابلاً بين رؤوس وأضلاع المثلثين بحيث تتطابق الزوايا المتناظرة والأضلاع المتناظرة. افترض أنه في المثلثين أ ب جـ، هـ د و أدناه لدينا < ب =< د، جـ =< و، أ =< هـ ، ب جـ =دو، أ ب = هـ د ، أ جـ = هـ و حيث الرمز أ ب يعني طول قطعة المستقيم [أب]. ومن ثم يمكن أن نخلص إلى أن المثلثين أ ب جـ ، هـ د و متطابقان d أ ب جـ = dهـ دو.
وهنالك مسلمات ونظريات بعينها تُحدِّد الشروط الضرورية والكافية لتطابق المثلثات. لذا فليس من الضروري دائمًا بيان تطابق كل الزوايا والأضلاع المتناطرة في مثلثين لإثبات أن المثلثين متطابقان. فعلى سبيل المثال، تنص مسلمة الضلعين والزاوية المحصورة بينهما على أنه إذا كان ضلعان والزاوية المحصورة بينهما في مثلث مطابقين لضلعين والزاوية المحصورة بينهما في مثلث آخر، كان هذان المثلثان متطابقين. وعلى الرغم من أنه من الممكن تعريف التطابق لأشكال عدا المثلثات فإن معظم دراسة التطابق في الهندسة مكرَّسٌ لتطابق المثلثات.
التماثل. يعطي المثلثان أ ب جـ، هـ ز ك أدناه مثالاً لتماثل الأشكال. لاحظ أن هـ ز يساوي وحدتين وطوله ضعف طول أ ب الذي يساوي وحدة واحدة. ونرمز لذلك بـ هـ ز = 2 أ ب وبالإضافة إلى ذلك فإن هـ ك = 2 أ جـ، ز ك = 2ب جـ . وأخيرًا وكما نرى من الرسم فإن أ = < هـ ، < ب =< ز ، ج = < ك، أي بعبارة أخرى تكون الزاويا المتناظرة متطابقة والأضلاع المتناظرة متناسبة. نقول عن أضلاع شكل ما إنها متناسبة عندما تتساوى النسب بين الأضلاع المتناظرة. وقيمة هذه النسبة تسمَّى ثابت التناسب. وللمثلثين أ ب ج ، هـ ز ك فإن ثابت التناسب يساوي 2. ونكتب d أ ب ج ~ d هـ ز ك للتعبير عن التماثل بين المثلثين dأ ب ج، وَ dهـ ز ك. ونقول عن أي شكلين هندسيين أنهما متماثلان إذا كانت الأضلاع المتناظرة لهما متطابقة والزوايا المتناظرة لهما متناسبة.
ولمفهوم التماثل عدة تطبيقات عملية. فالخرائط المرسومة بمقياس رسم على سبيل المثال، تعتمد على مفهوم التماثل ؛كما هو الحال في تصغير وتكبير الرسوم والصور الفوتوغرافية.
الاستاذ عبد الواحد
الطالب صالح
وأبسط أنواع الأشكال المتطابقة هي القطع المستقيمة والزوايا المتساوية. وبما أن كل المستقيمات لها نفس الشكل فإن القطع المستقيمة المتطابقة تُعرَّف على أنها القطع المستقيمة المتساوية الطول. ونقول عن زاويتين أنهما متطابقتان إذا كان قياسهما واحدًا. وكما يبيِّن الرسم أدناه، على سبيل المثال، فالزاوية ج د هـ تطابق الزاوية س ص ع إذ إن قياس كلٍّ منهما 45°. وللتعبير عن علاقة التطابق هذه نرمز لها بـ< ج د هـ =< س ص ع.
لإثبات تطابق مثلثين علينا أن ننشئ تناظرًا بين رؤوس المثلثين ـ أي نقاط التقاء الأضلاع ـ وكذلك بين أضلاع المثلثين. بعبارة أخرى علينا أن نجد تقابلاً بين رؤوس وأضلاع المثلثين بحيث تتطابق الزوايا المتناظرة والأضلاع المتناظرة. افترض أنه في المثلثين أ ب جـ، هـ د و أدناه لدينا < ب =< د، جـ =< و، أ =< هـ ، ب جـ =دو، أ ب = هـ د ، أ جـ = هـ و حيث الرمز أ ب يعني طول قطعة المستقيم [أب]. ومن ثم يمكن أن نخلص إلى أن المثلثين أ ب جـ ، هـ د و متطابقان d أ ب جـ = dهـ دو.
وهنالك مسلمات ونظريات بعينها تُحدِّد الشروط الضرورية والكافية لتطابق المثلثات. لذا فليس من الضروري دائمًا بيان تطابق كل الزوايا والأضلاع المتناطرة في مثلثين لإثبات أن المثلثين متطابقان. فعلى سبيل المثال، تنص مسلمة الضلعين والزاوية المحصورة بينهما على أنه إذا كان ضلعان والزاوية المحصورة بينهما في مثلث مطابقين لضلعين والزاوية المحصورة بينهما في مثلث آخر، كان هذان المثلثان متطابقين. وعلى الرغم من أنه من الممكن تعريف التطابق لأشكال عدا المثلثات فإن معظم دراسة التطابق في الهندسة مكرَّسٌ لتطابق المثلثات.
التماثل. يعطي المثلثان أ ب جـ، هـ ز ك أدناه مثالاً لتماثل الأشكال. لاحظ أن هـ ز يساوي وحدتين وطوله ضعف طول أ ب الذي يساوي وحدة واحدة. ونرمز لذلك بـ هـ ز = 2 أ ب وبالإضافة إلى ذلك فإن هـ ك = 2 أ جـ، ز ك = 2ب جـ . وأخيرًا وكما نرى من الرسم فإن أ = < هـ ، < ب =< ز ، ج = < ك، أي بعبارة أخرى تكون الزاويا المتناظرة متطابقة والأضلاع المتناظرة متناسبة. نقول عن أضلاع شكل ما إنها متناسبة عندما تتساوى النسب بين الأضلاع المتناظرة. وقيمة هذه النسبة تسمَّى ثابت التناسب. وللمثلثين أ ب ج ، هـ ز ك فإن ثابت التناسب يساوي 2. ونكتب d أ ب ج ~ d هـ ز ك للتعبير عن التماثل بين المثلثين dأ ب ج، وَ dهـ ز ك. ونقول عن أي شكلين هندسيين أنهما متماثلان إذا كانت الأضلاع المتناظرة لهما متطابقة والزوايا المتناظرة لهما متناسبة.
ولمفهوم التماثل عدة تطبيقات عملية. فالخرائط المرسومة بمقياس رسم على سبيل المثال، تعتمد على مفهوم التماثل ؛كما هو الحال في تصغير وتكبير الرسوم والصور الفوتوغرافية.
الاستاذ عبد الواحد
الطالب صالح
