تعاريف الاشكال الرباعية

متوازي الأضلاع: هو شكل رباعي فيه كل ضلعين متقابلين متوازيين
خواصه:
- كل ضلعين متقابلين متطابقين
- كل زاويتين متقابلتين متطابقتين
- كل زاويتين متتاليتين مجموع قياسيهما 180 ْ
- القطران ينصف كل منهما الأخر
- مساحة متوازي الأضلاع= طول القاعدة × الارتفاع
- محيط متوازي الأضلاع = مجموع أطوال أضلاعه
او ضعف مجموع طولي ضلعين متجاورين فيه

خاصيةأن قيمة زاوية القوس الذي تشكل بالتقاء خطي زاوية محيطية هي ضعف قيمة الزاوية نفسها.

وهذه الخاصية عدة نتائج منطقية منها:

يمكن برهنة أنه عند التقاء زاويتين محوطتين على نفس القوس، فحصيلة ضرب طول ضلعيهما يكون متساويا.
يمكن برهنة أن الزاويتين المتقابلتين لرباعي دائري هما زاويتان متكاملتان (أي مجموع قيمتهما يساوي 180 درجة).
[عدل] البرهان[عدل] الحالة الأولى: زاوية محيطية بحيث أحد أضلاعها هو قطر الدائرةأرسم الشكل التالي: أرسم دائرة مركزها نقطة O. أختر نقطتين على محيط الدائرة وسميهم V وA. أرسم الخط VO ومده ليتخطى O ويقطع الدائرة في نقطة B والتي هي مواجهة لنقطة V بالنسبة للمركز. أرسم زاوية ذات رأس V وأضلاعها تمر بـ A وB.

أعطي الزاوية المركزية BOA اسم θ. أرسم خط OA. لاحظ أن خطي OV وOA هما شعاعي الدائرة، لذا هما متساويين. لذلك، فإن المثلث VOA هو متساوي الضلعين وبالتلي، فإن الزاويتين BVA وVAO متساويتان. سمي كل منهما بـ ψ.

بما أن VB هو خطا مستقيما، فإن الزاويتين BOA وAOV هما زاويتين متكاملتين ومجموعهما هو °180. أذا، الزاوية AOV تساوي θ-°180 ومن المعروف أن مجموع زاوية المثلث يساوي °180 فإذا


وبالنتيجة


اطرح °180 من الجانبين فتحصل على:


التي تثبت النظرية.


--------------------------------------------------------------------------------

[عدل] الحالة الثانية: زاوية محيطية بحيث مركز الدائرة بداخلهاارسم الشكل التالي: ارسم دائرة مركزها O. أختر ثلاث نقط على محيطها وسمهم V وC وD. أرسم الخطين VC وVD.الزاوية DVC هي زاوية محيطية. أرسم الحط VO ومده ليقطع محيط الدائرة في نقطة E لاحظ أن الزاوية DVC تشكل القوس DC على الدائرة..

افترض أن النقطة E هي على هذا القوس. E هي مقابلة للنقطة V. الزاويتين DVE وEVC هما زاويتين محوطتين أيضا وكلاهما لهما ضلع يمر بمركز الدائرة. لذلك الحلو الأولى التي برهنت في الأعلى تنطبق عليهما. فإذن:


ودع




بحيث


أرسم الخطين OC وOD. فتصبح الزاوية DOC زاوية مركزية وكذلك الزاويتين DOE وEOC.


ودع




بحيث


ومن القسم الأول حصلنا على وعلى . وبدمح النتيجتين مع (2) نحصل على:


وبالتالي: التي تبرهن النظرية.


--------------------------------------------------------------------------------

[عدل] الحالة الثالثة: زاوية محيطية بحيث مركز الدائرة خارجهاأرسم الشكل التالي: أرسم دائرة مركزه O. أتر ثلاث نقاط V وC وD على محيطها. أرسم الخطين VC وVD. لاحظ أن الزاوية DVC هي زاوية محيطية. ارسم الحط VO ومده بشكل مستقيم ليقطع الدائرة بنقطة E. الزاوية DVC تشكل القوس DC على الدائرة.

أفترض أن نقطة E هي خارج القوس. نقطة E هي متقابلة مع النقطة V. الزاويتين DVE وEVC هما زاويتين محوطتين أيضا ولكلتيهما ضلع يمر بالمركز. فاذا هي مطابقة للحالة الأولى التي برهناها سلفا. لذلك:

.
دع




بحيث


أرسم الخطين OC وOD. الزاوية DOC هي زاوية مركزية وكذلك الزواية: DOE وEOC.


دع




بحيث


من القسم الأول حصلنا على:

و. وبدمج النتيجة مع (4) نحصل على:

اذاً باستعمال (3)


التي تبرهن النظرية.

ماشاء الله دايم منورنا بمواضيعك

مشكوووور