من طرف أولا : ما المقصود بالرياضيات ؟
إن الرياضيات تعد أم العلوم ، ولمعرفة موضوع علم الرياضيات ومنهجه يجب
التطرق إلى تاريخه ، وهذا سيساعدنا على اكتساب رؤية واضحة على منهج ومبادئ
ونتائج الرياضيات وبالتالي اكتشاف الآليات التي تحكم سير وتطور هذا العلم ، ومعرفة العوائق التي اعترضت تطوره .
فهل ظلت الرياضيات ومنهجها هي نفسها لم يتغير طوال تاريخها؟
1 )المرحلة الإجرائية أو العملية :
قبل اليونان كانت الرياضيات شديدة الارتباط بالواقع العملي والحسي
وبالممارسة اليومية للإنسان وبحاجاته . وتعتبر هذه المرحلة جنينيه
للرياضيات .
2 ) الرياضيات الكلاسيكية مع اليونان :
لقد تحقق وعي اليونان بالعمليات الحسابية والهندسية في شكلها المجرد واهتموا بها كثيرا .
وما يميز هذه المرحلة هو امتزاج هذا الاهتمام ببعض التصورات الميتافيزيقية
والخرافية الأسطورية كظهور رموز غريبة مما أدَّى إلى ظهور نتائج غير منتظرة
وغير مألوفة .
وكون الرياضيات ارتبطت في هذه الحقبة بالمحسوس والعملي بالإضافة إلى الامتزاج المذكور سالفاً ،
كل هذا كان بمثابة عائق أمام تقدم الرياضيات . وكان لابد لتقدم هذا العلم
من تجاوز الارتباط بالمحسوس وتجاوز التصورات التي تعطي للكائنات الرياضية
كالأعداد والأشكال الهندسية
مثلاً وجوداً مستقلاً عن ذهن الإنسان ( تصور أفلاطون ) .
ويعتبر إقليدس العالم اليوناني الذي استطاع أن يجمع شتات ما تم إنجازه في
مجال الرياضيات عند اليونان وأسس عليه نسقاً هندسياً سمي بالهندسة
الإقليدية .
ويتأسس البرهان الرياضي عند إقليدس على :
أ -) التعريفات : هي التي يتم بواسطتها وضع و تحديد المفاهيم والتصورات الأولية التي تشكل المادة الخام لدراسة الرياضيات .
ب -) المسلَّمات : وهي القضايا التي يفترضها العالم ويضعها كأساس ينطلق منه في عملية البرهنة دون أن يقيم عليها برهاناً
جـ -) البديهيات : وهي القضايا الواضحة التي تستمد صدقها من ذاتها ولا تحتاج إلى برهنة .
3_) الهندسة الإقليدية و ظهور الهندسات اللاإقليدية :
كان ينظر إلى هندسة إقليدس وإلى نتائجها على أنها صادقة صدقا مطلقا ,
وأنها الهندسة الوحيدة الممكنة. إلا أن كون المسلمة الخامسة لإقليدس والتي
تقول :"من نقطة خارج خط مستقيم لا يمر إلا خط مستقيم وحيد يوازيه"
كون هذه المسلمة لم تتم البرهنة عليها منذ البداية جعلها توضع موضع شك من طرف العلماء .
وعندما حاول كل من ريمان ( الألماني ) ولوبتشفسكي ( الروسي ) البرهنة على هذه المسلمة ،
خلص كل منهما إلى هندسة أخرى تختلف عن هندسة الآخر وعن هندسة إقليدس . وسميت هذه الهندسات بالهندسات اللاإقليدية .
وظهور هذه الهندسات كان له دور أساسي في توجيه أول ضربة لليقين المطلق لمبادئ ونتائج البرهان الاستنتاجي في الرياضيات
4 -) أزمة الأسس في الرياضيات
إن أزمة اليقين الرياضي التي نتجت عن ظهور هندسيات لاإقليدية مسَّت أيضا
المنهج الاستنتاجي الذي اعتمدته الرياضيات حتى النصف الأول من القرن التاسع
عشر
وهذه الأزمة مسَّت مجالات أخرى في الرياضيات كالجبر ، ففي إطار نظرية
المجموعات ظهر أن البديهية الكل اكبر من الجزء ليست صادقة صدقا مطلقا كما
كان يعتقد،
إذ ظهر أن الجزء يمكن أن يكون مساوياً للكل أو أن يكون اكبر من الكل .
كما ظهرت كذلك بعض الأعداد الخيالية ( ت )والتي أدت إليها بعض المعادلات
وهذا كله أدى إلى ظهور منهج جديد في الرياضيات هو المنهج الفرضـــي
الاستنتاجي .
5 -) المنهج الفرضي الاستنتاجي
في هذا المنهج لم يعد ينظر إلى المبادئ والأسس التي يقوم عليها البرهان الرياضي على أنها صادقة أو غير صادقة ،
بل أصبحت تعتبر فقط مجرد فرضيات تخضع لعدة شروط منها الوضوح وعدم إثارة الاختلاف وان تكون مستقلة عن بعضها البعض ،
والتي يهم في النسق الاكسيومي الناتج عن هذه الفرضيات وهو طابع النظام والاتساق الداخلي المنطقي وخلوه من التناقض .
ويكون صدق النتائج في المنهج الفرضي الاستنباطي صدقاً صورياً ، حيث أن
الوصول إليها تم دون التناقض مع الأولويات التي تم الانطلاق منها .
ثانيا : أهمية علم الرياضيات في المجتمع :
الرياضيات من العلوم الهامة والتي لا يستغني عنها أي فرد مهما كانت ثقافته
او كان عمره بعد عمر التمييز لا نها تشغل حيزا مهما في الحياة مهما كانت
درجة رقيها.
فالرياضيات في المجتمع تاخذ اهميتها النسبيه من مجتمع لاخر تبعاً لتقدم هذا
المجتمع وتعقد حياته التي تحتاج الى وسيلة لكثير من الامور كالقياس
والترتيب
وبيان الكميات والمقادير والازمان والمسافات والحجوم والاوزان والاموال وغيرها.
واول علوم الرياضيات ظهورا ما يمكن ان نطلق عليه الحساب وهذا العلم استخدمته الحضارات المختلفة في حياتها
ومن بين تلك الحضارات الحضارة الاسلامية التي كان لعلم الحساب اثر واضح في تجارة المسلمين
اليومية واحكامهم الشرعية ومن ذلك عدم الزيادة والنقصان في كثير من المعاملات لا يعرف ذلك الا بالحساب ومن ذلك معرفة الربا
ومقداره لان كل زيادة على اصل المال من غير تبايع فهي ربا.
ومن علوم الرياضيات والتي نبغ فيها المسلمون علم الجبر والذي يحتاجه الناس
في معاملاتهم ومن ذلك معرفة المواريث المعروف بعلم الفرائض
ولا يعرف حل مسائل المواريث الا بالرياضيات .
والامر لا يقف عند التجارة والمواريث والربا وغير ذلك بل ان تحديد اوقات
الصلاة التي تختلف حسب المواقع ومن يوم الى اخر يحتاج الى الحساب
الذي يحتاج الى معرفة الموقع الجغرافي وحركة الشمس في البروج واحوال الشفق الاساسية كل ذلك بالحساب يمكن تحديد وقت الصلاة في كل بلد
ان معرفة جهة القبلة والاهله وبخاصة هلال رمضان يحتاج الى حسابات خاصة وطرق متناهية في الدقة ولا يتاتي ذلك الا بالرياضيات وقد فاق
المسلمون اقرانهم من الهنود واليونان في معرفة كل ما يتعلق بالشهور ومطالع الاهلة
ونظرا لحاجة المسلمين للحسابات الدقيقة والمتعلقة بالامور الدينية من
عبادات وغيرها شجع الخلفاء ومنهم الخليفة العباسي ابو جعفر المنصور
المترجمين
والعلماء على الاهتمام بعلم الفلك وخصص اعتمادات كبيرة من المال للعناية
بذلك لمعرفة البروج وعروض البلدان وحركة الشمس والانقلابان الربيعي
والخريفي
والليل والنهار وحركات القمر وحسابها والخسوف والكسوف والنجوم الثابته والكواكب المتحركة
وتشمل الرياضيات فرع هام وهو حساب المثلثات الوثيق الصلة بالجبر الذي اخذه
الاوربيون عن المسلمين وتظهر اهمية الرياضيات وعلم المثلثات بصورة خاصة
في قياس المساحات الكبيرة والمسافات الطويله بطريقة غير مباشرة كقياس ارتفاع جبل او البعد بين جبلين
او عرض نهر وغيرها حتى قياس طول السنة الشمسية يعرف برصد ارتفاع الشمس
والرياضيات لها اهمية في حياة المجتمع بمعرفة الحجوم وحساب الكميات وغيره فالهندسة علم مهم يدرس
الحجم والمساحة وهو فرع من فروع الرياضيات التي تتعامل مع النقطة والخط والسطح والفضاء
مما سبق يمكن القول ان الرياضيات بكل فروعها لها اهمية في حياة المجتمع اليومية وتصريف وتنظيم امور معاشهم وحل ما يقع بينهم من
امور تحتاج للحساب وتحديد ما لهم وما عليهم من امور مادية
كما ان الرياضيات مهمه في تسهيل امور المجتمع في عباداتهم وتحديد ما عليهم من واجبات مالية ويظهر ذلك في تحديد الزكاه وغيرها
كما ان الرياضيات مهمة في معرفة المساحات والحجوم والمقادير والابعاد وغيرها
فالرياضيات علم لا يستغنى عنه في الحياة بل نستطيع القول ان الرياضيات سهلت الحياة في كثير من جوانبها ونغصت الحياة
لانها كانت ايضا سببا في اختراع كثير من ادوات الدمار فالرياضيات سلاح ذو حدين في الحياة
إن الرياضيات تعد أم العلوم ، ولمعرفة موضوع علم الرياضيات ومنهجه يجب
التطرق إلى تاريخه ، وهذا سيساعدنا على اكتساب رؤية واضحة على منهج ومبادئ
ونتائج الرياضيات وبالتالي اكتشاف الآليات التي تحكم سير وتطور هذا العلم ، ومعرفة العوائق التي اعترضت تطوره .
فهل ظلت الرياضيات ومنهجها هي نفسها لم يتغير طوال تاريخها؟
1 )المرحلة الإجرائية أو العملية :
قبل اليونان كانت الرياضيات شديدة الارتباط بالواقع العملي والحسي
وبالممارسة اليومية للإنسان وبحاجاته . وتعتبر هذه المرحلة جنينيه
للرياضيات .
2 ) الرياضيات الكلاسيكية مع اليونان :
لقد تحقق وعي اليونان بالعمليات الحسابية والهندسية في شكلها المجرد واهتموا بها كثيرا .
وما يميز هذه المرحلة هو امتزاج هذا الاهتمام ببعض التصورات الميتافيزيقية
والخرافية الأسطورية كظهور رموز غريبة مما أدَّى إلى ظهور نتائج غير منتظرة
وغير مألوفة .
وكون الرياضيات ارتبطت في هذه الحقبة بالمحسوس والعملي بالإضافة إلى الامتزاج المذكور سالفاً ،
كل هذا كان بمثابة عائق أمام تقدم الرياضيات . وكان لابد لتقدم هذا العلم
من تجاوز الارتباط بالمحسوس وتجاوز التصورات التي تعطي للكائنات الرياضية
كالأعداد والأشكال الهندسية
مثلاً وجوداً مستقلاً عن ذهن الإنسان ( تصور أفلاطون ) .
ويعتبر إقليدس العالم اليوناني الذي استطاع أن يجمع شتات ما تم إنجازه في
مجال الرياضيات عند اليونان وأسس عليه نسقاً هندسياً سمي بالهندسة
الإقليدية .
ويتأسس البرهان الرياضي عند إقليدس على :
أ -) التعريفات : هي التي يتم بواسطتها وضع و تحديد المفاهيم والتصورات الأولية التي تشكل المادة الخام لدراسة الرياضيات .
ب -) المسلَّمات : وهي القضايا التي يفترضها العالم ويضعها كأساس ينطلق منه في عملية البرهنة دون أن يقيم عليها برهاناً
جـ -) البديهيات : وهي القضايا الواضحة التي تستمد صدقها من ذاتها ولا تحتاج إلى برهنة .
3_) الهندسة الإقليدية و ظهور الهندسات اللاإقليدية :
كان ينظر إلى هندسة إقليدس وإلى نتائجها على أنها صادقة صدقا مطلقا ,
وأنها الهندسة الوحيدة الممكنة. إلا أن كون المسلمة الخامسة لإقليدس والتي
تقول :"من نقطة خارج خط مستقيم لا يمر إلا خط مستقيم وحيد يوازيه"
كون هذه المسلمة لم تتم البرهنة عليها منذ البداية جعلها توضع موضع شك من طرف العلماء .
وعندما حاول كل من ريمان ( الألماني ) ولوبتشفسكي ( الروسي ) البرهنة على هذه المسلمة ،
خلص كل منهما إلى هندسة أخرى تختلف عن هندسة الآخر وعن هندسة إقليدس . وسميت هذه الهندسات بالهندسات اللاإقليدية .
وظهور هذه الهندسات كان له دور أساسي في توجيه أول ضربة لليقين المطلق لمبادئ ونتائج البرهان الاستنتاجي في الرياضيات
4 -) أزمة الأسس في الرياضيات
إن أزمة اليقين الرياضي التي نتجت عن ظهور هندسيات لاإقليدية مسَّت أيضا
المنهج الاستنتاجي الذي اعتمدته الرياضيات حتى النصف الأول من القرن التاسع
عشر
وهذه الأزمة مسَّت مجالات أخرى في الرياضيات كالجبر ، ففي إطار نظرية
المجموعات ظهر أن البديهية الكل اكبر من الجزء ليست صادقة صدقا مطلقا كما
كان يعتقد،
إذ ظهر أن الجزء يمكن أن يكون مساوياً للكل أو أن يكون اكبر من الكل .
كما ظهرت كذلك بعض الأعداد الخيالية ( ت )والتي أدت إليها بعض المعادلات
وهذا كله أدى إلى ظهور منهج جديد في الرياضيات هو المنهج الفرضـــي
الاستنتاجي .
5 -) المنهج الفرضي الاستنتاجي
في هذا المنهج لم يعد ينظر إلى المبادئ والأسس التي يقوم عليها البرهان الرياضي على أنها صادقة أو غير صادقة ،
بل أصبحت تعتبر فقط مجرد فرضيات تخضع لعدة شروط منها الوضوح وعدم إثارة الاختلاف وان تكون مستقلة عن بعضها البعض ،
والتي يهم في النسق الاكسيومي الناتج عن هذه الفرضيات وهو طابع النظام والاتساق الداخلي المنطقي وخلوه من التناقض .
ويكون صدق النتائج في المنهج الفرضي الاستنباطي صدقاً صورياً ، حيث أن
الوصول إليها تم دون التناقض مع الأولويات التي تم الانطلاق منها .
ثانيا : أهمية علم الرياضيات في المجتمع :
الرياضيات من العلوم الهامة والتي لا يستغني عنها أي فرد مهما كانت ثقافته
او كان عمره بعد عمر التمييز لا نها تشغل حيزا مهما في الحياة مهما كانت
درجة رقيها.
فالرياضيات في المجتمع تاخذ اهميتها النسبيه من مجتمع لاخر تبعاً لتقدم هذا
المجتمع وتعقد حياته التي تحتاج الى وسيلة لكثير من الامور كالقياس
والترتيب
وبيان الكميات والمقادير والازمان والمسافات والحجوم والاوزان والاموال وغيرها.
واول علوم الرياضيات ظهورا ما يمكن ان نطلق عليه الحساب وهذا العلم استخدمته الحضارات المختلفة في حياتها
ومن بين تلك الحضارات الحضارة الاسلامية التي كان لعلم الحساب اثر واضح في تجارة المسلمين
اليومية واحكامهم الشرعية ومن ذلك عدم الزيادة والنقصان في كثير من المعاملات لا يعرف ذلك الا بالحساب ومن ذلك معرفة الربا
ومقداره لان كل زيادة على اصل المال من غير تبايع فهي ربا.
ومن علوم الرياضيات والتي نبغ فيها المسلمون علم الجبر والذي يحتاجه الناس
في معاملاتهم ومن ذلك معرفة المواريث المعروف بعلم الفرائض
ولا يعرف حل مسائل المواريث الا بالرياضيات .
والامر لا يقف عند التجارة والمواريث والربا وغير ذلك بل ان تحديد اوقات
الصلاة التي تختلف حسب المواقع ومن يوم الى اخر يحتاج الى الحساب
الذي يحتاج الى معرفة الموقع الجغرافي وحركة الشمس في البروج واحوال الشفق الاساسية كل ذلك بالحساب يمكن تحديد وقت الصلاة في كل بلد
ان معرفة جهة القبلة والاهله وبخاصة هلال رمضان يحتاج الى حسابات خاصة وطرق متناهية في الدقة ولا يتاتي ذلك الا بالرياضيات وقد فاق
المسلمون اقرانهم من الهنود واليونان في معرفة كل ما يتعلق بالشهور ومطالع الاهلة
ونظرا لحاجة المسلمين للحسابات الدقيقة والمتعلقة بالامور الدينية من
عبادات وغيرها شجع الخلفاء ومنهم الخليفة العباسي ابو جعفر المنصور
المترجمين
والعلماء على الاهتمام بعلم الفلك وخصص اعتمادات كبيرة من المال للعناية
بذلك لمعرفة البروج وعروض البلدان وحركة الشمس والانقلابان الربيعي
والخريفي
والليل والنهار وحركات القمر وحسابها والخسوف والكسوف والنجوم الثابته والكواكب المتحركة
وتشمل الرياضيات فرع هام وهو حساب المثلثات الوثيق الصلة بالجبر الذي اخذه
الاوربيون عن المسلمين وتظهر اهمية الرياضيات وعلم المثلثات بصورة خاصة
في قياس المساحات الكبيرة والمسافات الطويله بطريقة غير مباشرة كقياس ارتفاع جبل او البعد بين جبلين
او عرض نهر وغيرها حتى قياس طول السنة الشمسية يعرف برصد ارتفاع الشمس
والرياضيات لها اهمية في حياة المجتمع بمعرفة الحجوم وحساب الكميات وغيره فالهندسة علم مهم يدرس
الحجم والمساحة وهو فرع من فروع الرياضيات التي تتعامل مع النقطة والخط والسطح والفضاء
مما سبق يمكن القول ان الرياضيات بكل فروعها لها اهمية في حياة المجتمع اليومية وتصريف وتنظيم امور معاشهم وحل ما يقع بينهم من
امور تحتاج للحساب وتحديد ما لهم وما عليهم من امور مادية
كما ان الرياضيات مهمه في تسهيل امور المجتمع في عباداتهم وتحديد ما عليهم من واجبات مالية ويظهر ذلك في تحديد الزكاه وغيرها
كما ان الرياضيات مهمة في معرفة المساحات والحجوم والمقادير والابعاد وغيرها
فالرياضيات علم لا يستغنى عنه في الحياة بل نستطيع القول ان الرياضيات سهلت الحياة في كثير من جوانبها ونغصت الحياة
لانها كانت ايضا سببا في اختراع كثير من ادوات الدمار فالرياضيات سلاح ذو حدين في الحياة
ثالثا : الأعداد في القرآن الكريم
كما أورد القرآن الكريم كل أصول وحقائق العلوم المختلفة ، فقد أورد كذلك الأعداد باعتبارها أصول علم الحساب ،
وأساس الأرقام ... وعلامة الترقيم ... وإليك الآيات القرآنية التي تذكر الأرقام والأعداد صراحة :
" قل إنما هو إله " واحد " وإنني بريء مما تشركون " الأنعام 19 .
" وقال الله لا تتخذوا إلهين " اثنين " إنما هو إله واحد " النحل 51 .
" ولا تقولوا " ثلاثة " انتهوا خيرا لكم " النساء 171 .
" فسيحوا في الأرض " أربعة " أشهر " التوبة 2 .
" ويقولون " خمسة " سادسهم *****هم رجما بالغيب " الكهف 22 .
" إن ربكم الذي خلق السموات والأرض في " ستة " أيام " الأعراف 54 .
" لها " سبعة " أبواب لكل باب منهم جزء مقسوم " الحجر 44 .
" ويحمل عرش ربك فوقهم يومئذ " ثمانية " " الحاقة 17 .
" وكان في المدينة " تسعة " رهط يفسدون في الأرض " النمل 48 .
" تلك " عشرة " كاملة " البقرة 196 .
هذه هي أصول الأعداد كلها ... وأسس المحاسبات جميعها ... ولكن كما يهدف
القرآن الكريم دائما إلى توجيه نظر الإنسان إلى مزيد من البحث والدراسة ...
وحفزه إلى الواسع من العلم والعميق من المعرفة . فقد أورد بعض الأعداد
المركبة من رقمين حتى تتسع أمام الإنسان رقعة التفكير في العمل الحسابي ...
والاستمرار في الاستخدام العددي .
الأعداد المركبة
" إذ قال يوسف لأبيه يا أبت إني رأيت " أحد عشر " كوكبا والشمس والقمر رأيتهم لي ساجدين " يوسف 4 .
" إن عدة الشهور عند الله " اثنا عشر " شهرا في كتاب الله " التوبة 36 .
" عليها " تسعة عشر " " المدثر 30 .
" إن يكن منكم " عشرون " صابرون يغلبوا مائتين " الأنفال 65 .
" وحمله وفصاله " ثلاثون " شهرا " الأحقاف 15 .
" وإذ واعدنا موسى " أربعين " ليلة ثم اتخذتم العجل من بعده وأنتم ظالمون " البقرة 15 .
" ولقد أرسلنا نوحا إلى قومه فلبث فيهم ألف سنة إلا " خمسين " عاما " العنكبوت 14 .
" فمن لم يستطع فإطعام " ستين " مسكينا " المجادلة 4 .
" ثم في سلسلة ذرعها " سبعون " ذراعا فاسلكوه " الحاقة 32 .
" فاجلدوهم " ثمانين " جلدة ولا تقبلوا لهم شهادة أبدا " النور 4 .
" إن أخي له تسع " و تسعون " نعجة ولي نعجة واحدة " سورة ص 23 .
وأورد القرآن الكريم أيضا بعض الأعداد المركبة من ثلاثة أرقام كالتالي :
" قال بل لبثت " مائة " عام " البقرة 259 .
" إن يكن منكم عشرون صابرون يغلبوا " مائتين " " الأنفال 65 .
" ولبثوا في كهفهم " ثلاث مائة " سنين وازدادوا تسعا " الكهف 25 .
وأورد كذلك الأعداد المركبة من أربعة أرقام كالتالي :
" وإن يكن منكم " ألف " يغلبوا " ألفين " بإذن الله والله مع الصابرين " الأنفال 66 .
" إذ تقول للمؤمنين ألن يكفيكم أن يمدكم ربكم " بثلاثة آلاف " من الملائكة منزلين " آل عمران 124 .
" بلى إن تصبروا وتتقوا ويأتوكم من فورهم هذا يمددكم ربكم " بخمسة آلاف " من الملائكة مسومين " آل عمران 125 .
بل أورد القرآن الكريم العدد المركب من خمسة أرقام كقوله تعالى :
" وأرسلناه إلى " مائة ألف " أو يزيدون " الصافات 147 .
وعلاوة على ذلك وبالإضافة إليه ... فلقد أورد القرآن الكريم كسور الأعداد كالتالي :
" ولكم " نصف " ما ترك أزواجكم إن لم يكن لهن ولد " النساء 12 .
" إن لم يكن له ولد وورثه أبواه فلأمه " الثلث " " النساء 11 .
" فإن كان لهن ولد فلكم " الربع " مما تركن " النساء 12 .
" واعلموا أنما غنمتم من شيء فإن لله " خمسه " " الأنفال 41 .
" فإن كان له إخوة فلامه " السدس " النساء 11 .
" فإن كان لكم ولد فلهن " الثمن " مما تركتم " .
" وما بلغوا " معشار " ما ءاتينهم" سبأ 45 .
ووردت الصفات العددية والترتيبات الرقمية في القرآن الكريم كالتالي :
" قل إني أمرت أن أكون " أول " من أسلم " الأنعام 14 .
" إلا تنصروه فقد نصره الله إذ أخرجه الذين كفروا " ثاني " اثنين " التوبة 40 .
" إذ أرسلنا إليهم اثنين فكذبوهما فعززنا " بثالث " فقالوا إنا إليكم مرسلون " سورة يس 14 .
" ما يكون من نجوى ثلاثة إلا هو " رابعهم " " المجادلة 7 .
" والخامسة " أن لعنة الله عليه إن كان من الكاذبين " النور 7 .
" ويقولون خمسة " سادسهم " *****هم رجما بالغيب " الكهف 22 .
" ويقولون سبعة " وثامنهم " *****هم " الكهف 22 .
[size=16]رابعا: أصل الرياضيات :
الخوارزمي.. صاحب "الأعداد الصماء"
هو محمد بن موسى الخوارزمي توفي سنة 850م، عاصر الخليفة المأمون، نبغ بعلوم الفلك والحساب والجغرافيا،
له مؤلفات علمية أشهرها وأهمها ”كتاب زيج السند والهند” وكتاب "الجبر والمقابلة".
* فهو أول من فصل بين علمي الحساب والجبر، وهو أول من استعمل لفظة (جبر) للدلالة على العلم المعروف اليوم بهذا الاسم ( Algebre )،
واستطاع أن يجعل الجبر علماً يتمتَّع باستقلالية تامة بأصوله وقواعده بعدما زوّده بمصطلحات جديدة لفهم العمليات الرياضية والحسابية.
* هو من وضع أسس حساب علم اللوغاريتم، ونسبة له سمي هذا العلم بهذا الاسم.
* الخوارزمي أول من أطلق تسمية ”سهم” على الخط النازل من منتصف القوس على الوتر، وتوصل إلى حساب طول الوتر بواسطة القطر والسهم.
* وضع طرقاً تطبيقية لمعرفة مساحة المسطحات ومساحة الدائرة ومساحة قطعة الدائرة ومساحة المثلثات،
وتوصل إلى حساب حجم الهرم الثلاثي وحجم الهرم الرباعي وحجم المخروط، ووضع طريقة لضرب الجذور وطريقة لقسمتها بلغة العلم الحديث.
* الخوارزمي هو من أطلق تسمية ”الأعداد الصمَّاء” على بعض الأعداد، وتُرجم هذا التعبير حرفياً إلى اللغات العالمية.
* وضع الخوارزمي مصطلحات لمعادلات من الدرجة الأولى والدرجة الثانية وأوجد حلولاً لها.
* هو أول من أبدل علامة الحد (- أو +) عند نقلها من أحد جانبي المعادلة إلى
الجانب الآخر، وأوجد طريقة الضرب، وشرح عملية ضرب الأقواس
وتوصَّل إلى معرفة حاصل ضرب علامات الجمع والطرح (- ´ + = -)، (- ´ - = +)، (+ ´ + = +).
* أظهر الخوارزمي مقدرة فائقة في فهم واستيعاب إمكانيات الجبر الواسعة واستطاع حل المسائل الهندسية بطرق جبرية،
وتنبَّه للحالة التي يستحيل فيها إيجاد قيمة حقيقية للمجهول وسماها ”المسائل المستحيلة”،
وبقي هذا المصطلح متداولاً في أوروبا حتى أواخر القرن الثامن عشر، إلى أن استبدل ”بالجذور التخيلية”.
* برع بشرح كيفية إدخال الأعداد تحت علامة ( √) وكيفية استخراجها من تحتها.
* حدَّد قيمة النسبة التقريبية Л وجعلها 22/7، وأوجد طرقاً عديدة لم تكن معروفة
في عصره لمعالجة المعاملات بين الناس (كالبيع والشراء والتأجير والإرث ومسح الأراضي..).
* أسهمت مؤلفات الخوارزمي إسهاماً فعالاً في تطور الحضارة العلمية العالمية خاصة كتابه “الجبر و المقابلة”
الذي له أهمية خاصة في تاريخ الرياضيات، حيث تُرجم هذا الكتاب إلى معظم اللغات العالمية وكان المرجع الأساسي لدارسي الرياضيات
في الجامعات الغربية خلال القرنين الخامس والسادس عشر.
خامسا : تسمية الأعداد العربية :
معلوم أن العرب هم الذين ابتكروا الرقم (صفر) وهذا بحد ذاته فتح الآفاق الواسعة
أمام علم الأرقام والعدد والرياضيات ، كما وأن الأرقام العربية المستخدمة الآن هي بالأصل أرقام هندية ،
بينما الأرقام الإنجليزية المستخدمة دوليا عي أصلا الأرقام العربية التي اكتشفها المسلمون بناء على طريقة الزوايا ،
إذ يمثل كل رقم رسما توضيحيا يعتمد على زوايا تقابل ذلك الرقم ، فالعدد (1) يمثل زاوية واحدة ،
والعدد (2) يمثل زاويتين ورسمه الأصلي يشبه الحرف Z إلا أنه حرّف إلى شكله الحالي ، والعدد (3) كذلك وهلمّ جرّا . . .
إلى أن نصل إلى العدد تسعة وهو مكون من تسع زوايا كما هو مبين بالشكل أدناه لمواقع الزوايا لكل رقم غباري عربي ،
ولم يُستعمل نظام الزوايا بالنسبة للصفر بل استعملت الدائرة لأنها ليست رقما أو عددا وإنما هي مكونة من لا شيء ،
والقصد من استعمالها هو للدلالة على موقع الفراغ بالنسبة للأرقام ووضعها في
الخانات الصحيحة ، لتفرق بين الخانة الآحادية والعشرية والمئوية . . . إلخ
.
سادسا : رموز الرياضيات :
[center]مقتطفات رياضية :
أولا : نظريات فيرما :
نظرية فيرما المستعصية :
لا يوجد حل صحيح غير تافه للمعادلة : xn + yn = zn , حيث n > 2 .
ولقد حاول فيرما أن يقدم حلا لهذا الحدس ، حيث قدم برهانا لعدم وجود حل غير تافه للمعادلة :
x4 + y4 = z4 مستخدما طريقة تعرف اليوم بطريقة فيرما غير منتهية التناقض .
والجدير بالذكر أن فيرما لم يكن رياضيا بل كان محاميا هاويا ، وعلى الرغم
من ذلك فقد أغنى فروعا كثيرة في الرياضيات ومن أهمها وضعه لنظرية الأعداد .
وبعد مضي فترة من الزمن استطاع عالم الرياضيات البريطاني أويلر برهنة النظرية ،
والذي قدمها بصفحات عديدة كانت محل إعجاب الرياضيين عالميا ، كما أنه حصل على جائزة الملك فيصل العالمية ،
ولوكانت جائزة نوبل تعطى في مجال الرياضيات لحصل عليها ، وقد قتل باليمن .
نظرية فيرما في التحليل :
تعتمد هذه النظرية على كتابة العدد على شكل فرق مربعين .
عندما يكون العدد فرديا فإننا نعمل كما في المثال التالي :
لتحليل العدد 6077 إلى عوامله الأولية ، نعمل الآتي :
(78)2 – 6077 = 7 ليس مربع كامل
(79)2 – 6077 = 164 * * *
(80)2 – 6077 = 323 * * *
(81)2 – 6077 = 484 = (22)2
6077 = (81)2 – (22)2 = (103) (59)
n = 2rm بينما لو كان العدد ن زوجيا فإننا نقسم 2/ن حتى نحصل على الصورة :
حيث m عدد فردي ، ثم نجري مثل ماسبق .
ثانيا : قابلية القسمة :
1) قابلية القسمة على قوى العدد 5 :
وهو مشابه لقابلية القسمة على قوى العدد 2 لأن 2 × 5 = 10
مثال : قرر فيما إذا كان العدد 105117213127625 يقبل القسمة على العدد 125 ؟
الحل : 125 = 53 ، نختبر آخر ثلاث مراتب ونلاحظ :625
يقبل القسمة على 53 إذن العدد المطلوب يقبل القسمة على 125
2) قابلية القسمة على العدد 11 :
n ≡ (-1) mod 11 (10)
مثال : قرر هل العدد 723160823 يقبل القسمة على 11 أم لا ؟
الحل : (3-2) + (8-0) + (6-1) + (3-2) + (7-0) = 22
وبما أن 22 تقبل القسمة على 11 فإن العدد المطلوب يقبل القسمة على 11 .
3) قابلية القسمة على 7 ، 11 ، 13 :
بما أن 7 × 11 × 13 = 1001 فإن n ≡ (-1)n mod 1001 (103)
مثال : هل العدد 59358208 يقبل القسمة على 7 ، 11 ، 13 ؟
الحل : (208) - (358) + (059) = -91
العدد - 91 يقبل القسمة على 7 ، 13 بينما لايقبل القسمة على 11
إذن العدد المعطى يقبل القسمة على 7 ، 13 ولا يقبل القسمة على 11 .
4) قابلية القسمة على 13 :
يقبل العدد القسمة على 13 إذا كان ناتج ك أدناه يقبل القسمة على 13 .
ك = (4ح + ع - 3م) - (4ح ف + ع ف - 3م ف ) + ( ....) - (.....) + ....
حيث : ح : آحاد ، ع : عشرات ، م : مئات ،ف : ألوف .
مثال : هل العدد : 2734056 يقبل القسمة على 13 ؟
الحل : ك = (4×6 + 5 - 3 × 0) - (4×4 + 3 - 3×7) + (4×2) = 39
وبما أن 39 يقبل القسمة على 13 فإن العدد المطلوب يقبل القسمة على 13 .
ملحوظة : هذه ليست قاعدة متفق عليها .
ثالثا : الدوال الرياضية في حقل الإعداد المركبة :
1) الدوال التحليلية :
إذا كانت الدالة F معرفة في جوار النقطة Z1 بحيث F قابلة للإشتقاق في Z1 وفي جوار لـ Z1 عندئذ تسمى F دالة تحليلية في Z1 .
ملحوظة : في التبولوجيا ، جوار نقطة Z1 هي مجموعة على الهيئة {Z : |Z - Z1| <e K e > 0}
Z1= X1 + i Y1 , ويرمز لها بالرمز : (D(Z1, e , حيث X1 , Y1 أعداد حقيقية .
مثال : F(z) = 2z2 - 3z + i
دالة تحليلية لكل عدد مركب ، لأنها قابلة للاشتقاق عند كل نقطة z في حقل الاعداد المركبة .
2) الدوال التوافقية (Harmonic Function) :
إذا كانت (U(x,y دالة معرفة على نطاق D بحيث أنها ومشتقاتها الجزئية الأولى والثانية متصلة في D
وكانت تحقق معادلة لابلاس (Laplace : Uxx + Uyy = 0) .
عندئذ تسمى (U(x,y دالة توافقية في D .
مثال : الدالة F(z) =z3 = (x+iy)3 دالة توافقية لأن :
F(z) = x3-3xy2 + i(3x2y) - iy3
= (x3 - 3xy2) + i(3x2y-y3)
= (U(x,y) + i V(x,y
وكل من الدالتين U , V دالتين توافقيتين في جميع نقط مجموعة الأعداد المركبة (جميع رتب المشتقات لكل منهما موجودة ومتصلة في D ) .
3) الدالة الأسية :
F(z) = ez = ex + iy
= (ex (cos y + i sin y , الدالة معرفة لكل Z في الاعداد المركبة .
4) الدوال المئلئية :
SIN(Z) =eiz - e-iz / 2i , COS(Z) =eiz + e-iz / 2 .
(TAN(Z) =SIN(Z) / COS(Z) , COT(Z) = 1 / TAN(Z .
(SEC(Z) = 1 / COS(Z) , CSC(Z) = 1 / SIN(Z .
ملحوظة : المتطابقات المثلثية في المتغير الحقيقي تسري للدوال المثلثية في المتغير المركب .
5) الدوال الزائدية :
SINh(Z) =ez - e-z / 2 , COSh(Z) =ez + e-z / 2 .
(TANh(Z) =SINh(Z) / COSh(Z) , COTh(Z) = 1 / TANh(Z .
(SECh(Z) = 1 / COSh(Z) , CSCh(Z) = 1 / SINh(Z .
ملحوظة : المتطابقات للدوال الزائدية الحقيقية تبقى صحيحة للدوال الزائدية المركبة .
6) الدوال اللوغاريتمية :
Log(z) = Log(r) + iQ , r = |z| , Q =Arg(z) , z # 0 .
ملحوظة : - (Arg(z تعني قيم الزاوية Q .
- تعارف المتخصصون على أن Log تدل على Ln
اسهامات العرب في الرياضيات :
أولا : في مجال الحساب :
يعتبر علماء العرب أول من طور العمليات الحسابية الأربع ، الجمع والتضعيف ، التنصيف ، التفريق ،
الضرب والقسمة ، كما أن لهم الفضل في عمليات استخراج الجذور .
وقد قاموا بتقسيم الأعداد إلى ثلاثة أنواع هي :
1- أعداد تامة : وهي التي قننها أبو البنا المراكشي بقوله أن العدد التام هو العدد الذي يساوي مجموع أجزاءه (قواسمه) .
العدد 6 عدد تام لأن 6 = 1 + 2 + 3
2- أعداد زائدة : العدد الزائد هو ما يكون أقل من مجموع أجزائه (قواسمه) .
العدد 12 عدد زائد لأن 12 < 1+2+3+4+6
3- العدد الناقص : وهو العدد الذي يكون أكبر من مجموع أجزائه .
مثل العدد 10 > 1+2+5
كما أوجد ثابت بن قرة قاعدة للأعداد المتحابة وهي أن يكون مجموع قواسم أ حد العددين مساويا للآخر فمثلا :
(220 ،284) عددان متاحابان لأن :
مجموع قواسم 220 : 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 =284
مجموع قواسم 284 : 1+2+4+71+142 =220
كما قام الكاشي بوضع الكسور العشرية في كتاب الرسالة المحيطية ولأول مرة بالتاريخ ، حيث عبرعن:
2ط = 6.283185.7179865
ثانيا : في مجال الجبر:
أول كتاب عرف في الجبر هو كتاب الخوارزمي : الجبر والمقابلة ، والذي صنف به المعادلات كما في الشكل المقابل .
وقد ذكر الخوارزمي بأن الجبر يقوم على ثلاث ضروب هي : جذور وأموال وعدد .
المال يقابل س2 ، والجذر أسماه شيئا ، وميز العددبالشىء والمال بتسميته دراهم ، حيث قال مال وجذر يعادل درهمين .
وعند جبر المعادلة يقوم بإزالة الحدود السالبة ، وعند المقابلة يقوم بحذف الحدود المتشابهة من الطرفين .
كما توصل العرب إلى حل معادلات من قوى أعلى على الصورة :
م س2ن + ب س ن = جـ
وقد قدم العرب حلولا لمعادلات من الدرجة الثالثة والرابعة واكتشفو النظرية التي تقول :
مجموع مكعبين لايكون عددا مكعبا ، وهذه هي أساس نظرية فيرما الشهيرة :
أ ن + ب ن = جـ ن التي لايمكن حلها عند ن>2
ثالثا : في مجال الهندسة وحساب المثلثات :
لقد ترجم العرب كتاب أصول اقليدس ، وزادوا عليه ، حيث قدم ابن الهيثم نظريات ومسائل منها "كيف ترسم مستقيمين من نقطتين
مفروضتين داخل دائرة معلومة إلى أي نقطة مفروضة على محيطها بحيث يصنعان مع المماس المرسوم من تلك النقطة زاويتين متساويتين " .
كما قدم البيروني برهانا لمساحة المثلث بدلالة أضلاعه .كما أن الغرب عرفوا هندسة إقليدس عن طريق العرب .
ومن مآثر العرب في حساب المثلثات هو استخدامهم النسب المثلثية الست حيث كشف التباني العلاقة:
جتاأ =جتاب جتاجـ + جاب جاجـ جتاأ ، الخاصة بالمثلث الكروي المائل حيث أن أ ، ب ، جـ تمثل أضلاع المثلث ، أ زاوية أ بالمثلث.
واكتشف جابر بن الأفلح العلاقة : جتاب = جتاب جاأ ، الخاصة بالمثلث الكروي القائم الزاوية في جـ .
كما اكتشف التباني قانون إيجاد ارتفاع الشمس :
س = أجا (90 - أ) \ جاأ
وقد اكتشف العرب العلاقات بين الجيب والمماس والقاطع ونظائرهما ،
ومعرفة القاعدة الأساسية لمساحة المثلثات الكروية وعملوا الجداول الرياضية للمماس والقاطع وقاطع التمام .
وقد حل القباني المعادلة جاس\جتاس =1 ، حيث توصل إلى أن :
جاس = س \ (جذر س2 + 1) .
وتوصل ابن يونس إلى القانون :
جتاس جتاص =1\2 جتا(س+ص) + 1\2 جتا(س - ص) .
نبذه عن بعض علماء الرياضيات :
أبن الهيثم ( 965 - 1039 م )
من مواليد البصرة ولكنه نزل مصر وعاش فيها ، وقد بلغ كعالم رياضي حدوداً مشرفة.
تجلت عبقريته في تطبيق الهندسة والمعادلات والأرقام ومسائل الفلك المختلفة .
وقد وضع أربعة قوانين لإيجاد مجموع الأعداد المرفوعة إلى القوى 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، كما عمل في المربعات السحرية
ووضع قوانين صحيحة لمساحات الكرة والهرم والأسطوانة المائلة والقطاع الدائري والقطعة الدائرية . ل
ابن الهيثم مؤلفات عديدة وعديدة جداً في الرياضيات وعلم الطبيعة نذكر منها:
- كتاب الجامع في أصول علم الحساب .
- كتاب في المساحة على جهة الأصول.
- مقالة في التحليل و التركيب.
الخوارزمي ( 780 - 850هـ )
هو محمد بن موسى الخوارزمي أول من ألف في الحساب والجبر والأزياج من رياضيي العرب.
ويعد كتاب " الجبر والمقابلة " من أهم كتب هذا العالم حيث نظم فيه الترقيم العشري . ومن أشهر كتبه :
- كتاب الزيج الأول - كتاب الزيج الثاني - كتاب الرخامة.
وقد ذكر الخوارزمي ستة أنواع من المعادلات الجبرية ووضع لها حلولاً مختلفة .
والحق يقال وبكل موضوعية لقد وضع الخوارزمي في علم الجبر كعلم مستقل عن العلوم الرياضية الأخرى
وهو مبتكر لكثير من بحوث الجبر التي تدرس الآن في المدارس الثانوية العليا ،
فكل العلماء الذين جاؤوا بعده مدينون له في الكثير من الأمور.
أقليدس ( 250 - 280) ق.م
عالم رياضيات إغريقي تعلم في أثينا وتدرب في الأكاديمية وأكمل تعليمه في الإسكندرية.
ونجد جل أعمال أقليدس في كتاب العناصر وقد ترجم هذا الكتاب إلى سائر لغات العالم قديماً وحديثاً
ويعد هذا الكتاب النموذج الرياضي للطرق الاستنتاجية . خلال ألفي سنة ونيف .
إن حياة أقليدس مجهولة جهلاً تاماً ، ولطالما خلط بينه وبين الفيلسوف ( اقليدس دي ميجار ) .
وهناك مقولة تقول : " إن الرياضيات التي تكلم عنها أفلاطون وأرسطو هي أقدم من رياضيات كتاب " العناصر ".
فيثاغورس
ولد في ساموس نحو سنة 580 ق.م ، وتوفي حوالي 504 ق.م.
فيلسوف وعالم رياضيات . عاش زمناً في مصر فدرس الخرائط السماوية . ثم استقر في كريتون اليونانية سنة 530 ق.م ،
وفيها أسس مدرسة فلسفية . كان يقول أن الأعداد عي عناصر كل الأشياء ، وإن كل المخلوقات يمكن الدلالة عليها بالعدد ،
وإن العالم كله تناغم وحساب . عزى إليه تأثره بفلاسفة الهنود . هو أحد مؤسسي علم الرياضيات في العالم ،
ومن أهم نظرياته الرياضية هي التي تقول : إن مربع الوتر في المثلث القائم الزاوية ، يساوي مجموع مربعي الضلعين القائمين .
وضع العلاقات الرياضية التي تحسب الأصوات الموسيقية .
وقيل إنه تنبأ بنظرية دوران الأرض حول نفسها.
لماذا يتمتع الموهوبون في الرياضيات بذكاء أكبر؟
دراسة تظهر ان فصي المخ للنابغين في الرياضيات يتمتعان بدقة غير تقليدية بالمقارنة مع ذوي القدرات المتوسطة.
يبدو أن هناك شيئا مختلفا بالفعل في تركيبة مخ أولئك النابهين في الرياضيات.
فقد أظهرت تجارب جديدة أن الموهوبين في الرياضيات يتمتعون بقدرات أكبر في جعل فصي المخ يعملان معا بقدر أكبر من التعاون.
وهذا يساعد في فهم الرياضيات لانه يدعم مهارات التخيل و ادراك الفراغ وذلك حسبما ذكر مايكل أبولي من جامعة ملبورن.
وقام أبولي ومعه فريق من زملائه في الولايات المتحدة بإجراء تجارب على 60 صبيا وشابا تتراوح أعمارهم بين 13 وأكثر من عشرين سنة
بقليل وكان 18 من هؤلاء من الموهوبين في الرياضيات والذين تم اختيارهم من
برنامج بجامعة ايوا يعمل على اكتشاف النابغين من بين الطلاب صغار السن.
وشاهد المختبرون حروفا كبيرة لامعة على شاشة. وكانت الحروف مؤلفة من حروف صغيرة وضعت في مجموعة لتشكل حرف واحد كبير ،
عدد كبير من حرف "تي" على سبيل المثال تجمعت لتشكل حرف "تي" واحد كبير".
وسلط الضوء على هذه النماذج من الحروف بحيث نرى بالعين اليمنى مرة وبالعين اليسرى مرة أخرى ثم بالعينين معا.
وطلب من الاولاد أن يتعرفوا بأسرع ما يمكن على الحروف الصغيرة والحروف الكبيرة.
بالنسبة للاولاد أصحاب القدرات المتوسطة في الرياضيات فإن الجزء الايسر من المخ (المتصل بالعين اليمنى) كان الاسرع في التعرف
على الحروف الصغيرة والجزء الايمن من المخ كان الاسرع في التعرف على الحروف الاكبر.
وكان هذا متوقعا حيث تظهر البحوث أن الجزء الايسر يتمتع بالدقة في تبين ا لتفاصيل وهي في هذه الحالة الحروف الصغيرة وأن الجزء الايمن
يتمتع بالدقة في استيعاب الصورة ككل أي الحروف الكبيرة هنا. وأن الجزء الايسر يستوعب "الاجزاء" فيما يستوعب الجزء الايمن "الكليات".
لكن الاولاد الموهوبين في الرياضيات لم يظهروا مثل هذه الاختلافات. فقد أجاد فصا المخ وبصورة متساوية كما أن الموهوبين في الرياضيات
كانوا أسرع بكثير في الاختبارات التي طلب فيها من فصي المخ أن يتعاونا.
وهذه النتائج تدعم النظرية القائلة أن الموهوبين في الرياضيات يمكنهم نقل المعلومات بين فصي المخ بشكل أفضل.
ارقام عجيبه :
الرياضيات مليئة بالاسرار والعجائب الرياضية منها ماتم اكتشافها ومنها من لم تعرف لحتى الآن ، وسوف أعرض مقتطفات منها .
1) لاحظ مضاعفات كل من 7 ، 9 لكل س < 10 ، ثم أنظر العجب في ناتج الضرب .
(س × 7) × 15873 = س × 111111 (س × 9) × 123456789 = س × 111111111
7 × 15873 = 111111
14 × 15873 = 222222
21 × 15873 = 333333
جرب البقية
9 × 123456789 = 111111111
18 × 123456789 = 222222222
27 × 123456789 = 333333333
جرب البقية .
2 ) من عجائب الرقم 8
1×8+1=9
12×8+2=98
123×8+3=987
1234×8+4=9876
12345×8+5=98765
123456×8+6=987654
1234567×8+7=9876543
12345678×8+8=98765432
123456789×9+9=987654321
من عجائب الرقم 8 و 9
0×9+8=8
9×9+7=88
98×9+6=888
987×9+5=8888
9876×9+4=88888
98765×9+3=888888
4 98765×9+2=8888888
9876543×9+1=88888888
98765432×9+0=888888888
3 ) من عجائب الرقم 9
987654321 × 9 = 8888888889
98765432 × 9 = 888888888
9876543 × 9 = 88888887
987654 × 9 = 8888886
98765 × 9 = 888885
9876 × 9 = 88884
987 × 9 = 8883
98 × 9 = 882
9 × 9 = 81
من عجائب الرقم 9 أيضاً ما نلاحظه هنا :
123456789× 9 = 1111111101
12345678 × 9 = 111111102
1234567 × 9 = 11111103
123456 × 9 = 1111104
12345 × 9 = 111105
1234 × 9 = 11106
123 × 9 = 1107
12 × 9 = 108
1 × 9 = 09
9×0+1=1
9×1+2=11
9×12+3=111
9×123+4=1111
9×1234+5=11111
9×12345+6=111111
9×123456+7=1111111
9×1234567+8=11111111
9×12345678+9=111111111
4 ) الرقم 3
3 × 037 = 111
3 × 037037 = 111111
3 × 037037037 = 111111111
وهكذا للبقية .
5) ليكن س هو رقم الآحاد ، ص هو باقي الرقم فإن :
أي عدد : (9 × ص) + (س + ص) = نفس العدد
27 : (9 × 2) + (7 + 2) = 27
145 : (9 × 14) + (5 + 14) = 145
جرب أي عدد .
6 )قابلية القسمة
ليكن س هو رقم الآحاد ، ص هو باقي الرقم فإن :
- يقبل العدد القسمة على 7 إذا كان (5س + ص) يقبل القسمة على 7 .
أو إذا كان (ص - 2س) يقبل القسمة على 7 .
فمثلا : 448 يقبل القسمة على 7 لأن : 5 × 8 + 44 = 84 يقبل القسمة على 7 .
أو 44 - 2 × 8 = 28 يقبل القسمة على 7 .
جرب قابلية القسمة لما يلي :
- يقبل العدد القسمة على 11 إذا كان (ص - س) يقبل القسمة على 11 .
- يقبل العدد القسمة على 13 إذا كان (ص + 4س) يقبل القسمة على 13 .
- يقبل العدد القسمة على 17 إذا كان (ص - 5س) يقبل القسمة على 17 .
- يقبل العدد القسمة على 19 إذا كان (ص + 2س) يقبل القسمة على 19 .
- يقبل العدد القسمة على 23 إذا كان (ص + 7س) يقبل القسمة على 23 .
- يقبل العدد القسمة على 29 إذا كان (ص + 3س) يقبل القسمة على 29 .
7 ) أعداد مختلفة حاصل جمعها يساوي حاصل قسمتها .
لاحظ الترتيب في وضع الأعداد ، علما بأن عملية القسمة غير إبدالية .
منقول
[/center][/size]كما أورد القرآن الكريم كل أصول وحقائق العلوم المختلفة ، فقد أورد كذلك الأعداد باعتبارها أصول علم الحساب ،
وأساس الأرقام ... وعلامة الترقيم ... وإليك الآيات القرآنية التي تذكر الأرقام والأعداد صراحة :
" قل إنما هو إله " واحد " وإنني بريء مما تشركون " الأنعام 19 .
" وقال الله لا تتخذوا إلهين " اثنين " إنما هو إله واحد " النحل 51 .
" ولا تقولوا " ثلاثة " انتهوا خيرا لكم " النساء 171 .
" فسيحوا في الأرض " أربعة " أشهر " التوبة 2 .
" ويقولون " خمسة " سادسهم *****هم رجما بالغيب " الكهف 22 .
" إن ربكم الذي خلق السموات والأرض في " ستة " أيام " الأعراف 54 .
" لها " سبعة " أبواب لكل باب منهم جزء مقسوم " الحجر 44 .
" ويحمل عرش ربك فوقهم يومئذ " ثمانية " " الحاقة 17 .
" وكان في المدينة " تسعة " رهط يفسدون في الأرض " النمل 48 .
" تلك " عشرة " كاملة " البقرة 196 .
هذه هي أصول الأعداد كلها ... وأسس المحاسبات جميعها ... ولكن كما يهدف
القرآن الكريم دائما إلى توجيه نظر الإنسان إلى مزيد من البحث والدراسة ...
وحفزه إلى الواسع من العلم والعميق من المعرفة . فقد أورد بعض الأعداد
المركبة من رقمين حتى تتسع أمام الإنسان رقعة التفكير في العمل الحسابي ...
والاستمرار في الاستخدام العددي .
الأعداد المركبة
" إذ قال يوسف لأبيه يا أبت إني رأيت " أحد عشر " كوكبا والشمس والقمر رأيتهم لي ساجدين " يوسف 4 .
" إن عدة الشهور عند الله " اثنا عشر " شهرا في كتاب الله " التوبة 36 .
" عليها " تسعة عشر " " المدثر 30 .
" إن يكن منكم " عشرون " صابرون يغلبوا مائتين " الأنفال 65 .
" وحمله وفصاله " ثلاثون " شهرا " الأحقاف 15 .
" وإذ واعدنا موسى " أربعين " ليلة ثم اتخذتم العجل من بعده وأنتم ظالمون " البقرة 15 .
" ولقد أرسلنا نوحا إلى قومه فلبث فيهم ألف سنة إلا " خمسين " عاما " العنكبوت 14 .
" فمن لم يستطع فإطعام " ستين " مسكينا " المجادلة 4 .
" ثم في سلسلة ذرعها " سبعون " ذراعا فاسلكوه " الحاقة 32 .
" فاجلدوهم " ثمانين " جلدة ولا تقبلوا لهم شهادة أبدا " النور 4 .
" إن أخي له تسع " و تسعون " نعجة ولي نعجة واحدة " سورة ص 23 .
وأورد القرآن الكريم أيضا بعض الأعداد المركبة من ثلاثة أرقام كالتالي :
" قال بل لبثت " مائة " عام " البقرة 259 .
" إن يكن منكم عشرون صابرون يغلبوا " مائتين " " الأنفال 65 .
" ولبثوا في كهفهم " ثلاث مائة " سنين وازدادوا تسعا " الكهف 25 .
وأورد كذلك الأعداد المركبة من أربعة أرقام كالتالي :
" وإن يكن منكم " ألف " يغلبوا " ألفين " بإذن الله والله مع الصابرين " الأنفال 66 .
" إذ تقول للمؤمنين ألن يكفيكم أن يمدكم ربكم " بثلاثة آلاف " من الملائكة منزلين " آل عمران 124 .
" بلى إن تصبروا وتتقوا ويأتوكم من فورهم هذا يمددكم ربكم " بخمسة آلاف " من الملائكة مسومين " آل عمران 125 .
بل أورد القرآن الكريم العدد المركب من خمسة أرقام كقوله تعالى :
" وأرسلناه إلى " مائة ألف " أو يزيدون " الصافات 147 .
وعلاوة على ذلك وبالإضافة إليه ... فلقد أورد القرآن الكريم كسور الأعداد كالتالي :
" ولكم " نصف " ما ترك أزواجكم إن لم يكن لهن ولد " النساء 12 .
" إن لم يكن له ولد وورثه أبواه فلأمه " الثلث " " النساء 11 .
" فإن كان لهن ولد فلكم " الربع " مما تركن " النساء 12 .
" واعلموا أنما غنمتم من شيء فإن لله " خمسه " " الأنفال 41 .
" فإن كان له إخوة فلامه " السدس " النساء 11 .
" فإن كان لكم ولد فلهن " الثمن " مما تركتم " .
" وما بلغوا " معشار " ما ءاتينهم" سبأ 45 .
ووردت الصفات العددية والترتيبات الرقمية في القرآن الكريم كالتالي :
" قل إني أمرت أن أكون " أول " من أسلم " الأنعام 14 .
" إلا تنصروه فقد نصره الله إذ أخرجه الذين كفروا " ثاني " اثنين " التوبة 40 .
" إذ أرسلنا إليهم اثنين فكذبوهما فعززنا " بثالث " فقالوا إنا إليكم مرسلون " سورة يس 14 .
" ما يكون من نجوى ثلاثة إلا هو " رابعهم " " المجادلة 7 .
" والخامسة " أن لعنة الله عليه إن كان من الكاذبين " النور 7 .
" ويقولون خمسة " سادسهم " *****هم رجما بالغيب " الكهف 22 .
" ويقولون سبعة " وثامنهم " *****هم " الكهف 22 .
[size=16]رابعا: أصل الرياضيات :
الخوارزمي.. صاحب "الأعداد الصماء"
هو محمد بن موسى الخوارزمي توفي سنة 850م، عاصر الخليفة المأمون، نبغ بعلوم الفلك والحساب والجغرافيا،
له مؤلفات علمية أشهرها وأهمها ”كتاب زيج السند والهند” وكتاب "الجبر والمقابلة".
* فهو أول من فصل بين علمي الحساب والجبر، وهو أول من استعمل لفظة (جبر) للدلالة على العلم المعروف اليوم بهذا الاسم ( Algebre )،
واستطاع أن يجعل الجبر علماً يتمتَّع باستقلالية تامة بأصوله وقواعده بعدما زوّده بمصطلحات جديدة لفهم العمليات الرياضية والحسابية.
* هو من وضع أسس حساب علم اللوغاريتم، ونسبة له سمي هذا العلم بهذا الاسم.
* الخوارزمي أول من أطلق تسمية ”سهم” على الخط النازل من منتصف القوس على الوتر، وتوصل إلى حساب طول الوتر بواسطة القطر والسهم.
* وضع طرقاً تطبيقية لمعرفة مساحة المسطحات ومساحة الدائرة ومساحة قطعة الدائرة ومساحة المثلثات،
وتوصل إلى حساب حجم الهرم الثلاثي وحجم الهرم الرباعي وحجم المخروط، ووضع طريقة لضرب الجذور وطريقة لقسمتها بلغة العلم الحديث.
* الخوارزمي هو من أطلق تسمية ”الأعداد الصمَّاء” على بعض الأعداد، وتُرجم هذا التعبير حرفياً إلى اللغات العالمية.
* وضع الخوارزمي مصطلحات لمعادلات من الدرجة الأولى والدرجة الثانية وأوجد حلولاً لها.
* هو أول من أبدل علامة الحد (- أو +) عند نقلها من أحد جانبي المعادلة إلى
الجانب الآخر، وأوجد طريقة الضرب، وشرح عملية ضرب الأقواس
وتوصَّل إلى معرفة حاصل ضرب علامات الجمع والطرح (- ´ + = -)، (- ´ - = +)، (+ ´ + = +).
* أظهر الخوارزمي مقدرة فائقة في فهم واستيعاب إمكانيات الجبر الواسعة واستطاع حل المسائل الهندسية بطرق جبرية،
وتنبَّه للحالة التي يستحيل فيها إيجاد قيمة حقيقية للمجهول وسماها ”المسائل المستحيلة”،
وبقي هذا المصطلح متداولاً في أوروبا حتى أواخر القرن الثامن عشر، إلى أن استبدل ”بالجذور التخيلية”.
* برع بشرح كيفية إدخال الأعداد تحت علامة ( √) وكيفية استخراجها من تحتها.
* حدَّد قيمة النسبة التقريبية Л وجعلها 22/7، وأوجد طرقاً عديدة لم تكن معروفة
في عصره لمعالجة المعاملات بين الناس (كالبيع والشراء والتأجير والإرث ومسح الأراضي..).
* أسهمت مؤلفات الخوارزمي إسهاماً فعالاً في تطور الحضارة العلمية العالمية خاصة كتابه “الجبر و المقابلة”
الذي له أهمية خاصة في تاريخ الرياضيات، حيث تُرجم هذا الكتاب إلى معظم اللغات العالمية وكان المرجع الأساسي لدارسي الرياضيات
في الجامعات الغربية خلال القرنين الخامس والسادس عشر.
خامسا : تسمية الأعداد العربية :
معلوم أن العرب هم الذين ابتكروا الرقم (صفر) وهذا بحد ذاته فتح الآفاق الواسعة
أمام علم الأرقام والعدد والرياضيات ، كما وأن الأرقام العربية المستخدمة الآن هي بالأصل أرقام هندية ،
بينما الأرقام الإنجليزية المستخدمة دوليا عي أصلا الأرقام العربية التي اكتشفها المسلمون بناء على طريقة الزوايا ،
إذ يمثل كل رقم رسما توضيحيا يعتمد على زوايا تقابل ذلك الرقم ، فالعدد (1) يمثل زاوية واحدة ،
والعدد (2) يمثل زاويتين ورسمه الأصلي يشبه الحرف Z إلا أنه حرّف إلى شكله الحالي ، والعدد (3) كذلك وهلمّ جرّا . . .
إلى أن نصل إلى العدد تسعة وهو مكون من تسع زوايا كما هو مبين بالشكل أدناه لمواقع الزوايا لكل رقم غباري عربي ،
ولم يُستعمل نظام الزوايا بالنسبة للصفر بل استعملت الدائرة لأنها ليست رقما أو عددا وإنما هي مكونة من لا شيء ،
والقصد من استعمالها هو للدلالة على موقع الفراغ بالنسبة للأرقام ووضعها في
الخانات الصحيحة ، لتفرق بين الخانة الآحادية والعشرية والمئوية . . . إلخ
.
سادسا : رموز الرياضيات :
[center]مقتطفات رياضية :
أولا : نظريات فيرما :
نظرية فيرما المستعصية :
لا يوجد حل صحيح غير تافه للمعادلة : xn + yn = zn , حيث n > 2 .
ولقد حاول فيرما أن يقدم حلا لهذا الحدس ، حيث قدم برهانا لعدم وجود حل غير تافه للمعادلة :
x4 + y4 = z4 مستخدما طريقة تعرف اليوم بطريقة فيرما غير منتهية التناقض .
والجدير بالذكر أن فيرما لم يكن رياضيا بل كان محاميا هاويا ، وعلى الرغم
من ذلك فقد أغنى فروعا كثيرة في الرياضيات ومن أهمها وضعه لنظرية الأعداد .
وبعد مضي فترة من الزمن استطاع عالم الرياضيات البريطاني أويلر برهنة النظرية ،
والذي قدمها بصفحات عديدة كانت محل إعجاب الرياضيين عالميا ، كما أنه حصل على جائزة الملك فيصل العالمية ،
ولوكانت جائزة نوبل تعطى في مجال الرياضيات لحصل عليها ، وقد قتل باليمن .
نظرية فيرما في التحليل :
تعتمد هذه النظرية على كتابة العدد على شكل فرق مربعين .
عندما يكون العدد فرديا فإننا نعمل كما في المثال التالي :
لتحليل العدد 6077 إلى عوامله الأولية ، نعمل الآتي :
(78)2 – 6077 = 7 ليس مربع كامل
(79)2 – 6077 = 164 * * *
(80)2 – 6077 = 323 * * *
(81)2 – 6077 = 484 = (22)2
6077 = (81)2 – (22)2 = (103) (59)
n = 2rm بينما لو كان العدد ن زوجيا فإننا نقسم 2/ن حتى نحصل على الصورة :
حيث m عدد فردي ، ثم نجري مثل ماسبق .
ثانيا : قابلية القسمة :
1) قابلية القسمة على قوى العدد 5 :
وهو مشابه لقابلية القسمة على قوى العدد 2 لأن 2 × 5 = 10
مثال : قرر فيما إذا كان العدد 105117213127625 يقبل القسمة على العدد 125 ؟
الحل : 125 = 53 ، نختبر آخر ثلاث مراتب ونلاحظ :625
يقبل القسمة على 53 إذن العدد المطلوب يقبل القسمة على 125
2) قابلية القسمة على العدد 11 :
n ≡ (-1) mod 11 (10)
مثال : قرر هل العدد 723160823 يقبل القسمة على 11 أم لا ؟
الحل : (3-2) + (8-0) + (6-1) + (3-2) + (7-0) = 22
وبما أن 22 تقبل القسمة على 11 فإن العدد المطلوب يقبل القسمة على 11 .
3) قابلية القسمة على 7 ، 11 ، 13 :
بما أن 7 × 11 × 13 = 1001 فإن n ≡ (-1)n mod 1001 (103)
مثال : هل العدد 59358208 يقبل القسمة على 7 ، 11 ، 13 ؟
الحل : (208) - (358) + (059) = -91
العدد - 91 يقبل القسمة على 7 ، 13 بينما لايقبل القسمة على 11
إذن العدد المعطى يقبل القسمة على 7 ، 13 ولا يقبل القسمة على 11 .
4) قابلية القسمة على 13 :
يقبل العدد القسمة على 13 إذا كان ناتج ك أدناه يقبل القسمة على 13 .
ك = (4ح + ع - 3م) - (4ح ف + ع ف - 3م ف ) + ( ....) - (.....) + ....
حيث : ح : آحاد ، ع : عشرات ، م : مئات ،ف : ألوف .
مثال : هل العدد : 2734056 يقبل القسمة على 13 ؟
الحل : ك = (4×6 + 5 - 3 × 0) - (4×4 + 3 - 3×7) + (4×2) = 39
وبما أن 39 يقبل القسمة على 13 فإن العدد المطلوب يقبل القسمة على 13 .
ملحوظة : هذه ليست قاعدة متفق عليها .
ثالثا : الدوال الرياضية في حقل الإعداد المركبة :
1) الدوال التحليلية :
إذا كانت الدالة F معرفة في جوار النقطة Z1 بحيث F قابلة للإشتقاق في Z1 وفي جوار لـ Z1 عندئذ تسمى F دالة تحليلية في Z1 .
ملحوظة : في التبولوجيا ، جوار نقطة Z1 هي مجموعة على الهيئة {Z : |Z - Z1| <e K e > 0}
Z1= X1 + i Y1 , ويرمز لها بالرمز : (D(Z1, e , حيث X1 , Y1 أعداد حقيقية .
مثال : F(z) = 2z2 - 3z + i
دالة تحليلية لكل عدد مركب ، لأنها قابلة للاشتقاق عند كل نقطة z في حقل الاعداد المركبة .
2) الدوال التوافقية (Harmonic Function) :
إذا كانت (U(x,y دالة معرفة على نطاق D بحيث أنها ومشتقاتها الجزئية الأولى والثانية متصلة في D
وكانت تحقق معادلة لابلاس (Laplace : Uxx + Uyy = 0) .
عندئذ تسمى (U(x,y دالة توافقية في D .
مثال : الدالة F(z) =z3 = (x+iy)3 دالة توافقية لأن :
F(z) = x3-3xy2 + i(3x2y) - iy3
= (x3 - 3xy2) + i(3x2y-y3)
= (U(x,y) + i V(x,y
وكل من الدالتين U , V دالتين توافقيتين في جميع نقط مجموعة الأعداد المركبة (جميع رتب المشتقات لكل منهما موجودة ومتصلة في D ) .
3) الدالة الأسية :
F(z) = ez = ex + iy
= (ex (cos y + i sin y , الدالة معرفة لكل Z في الاعداد المركبة .
4) الدوال المئلئية :
SIN(Z) =eiz - e-iz / 2i , COS(Z) =eiz + e-iz / 2 .
(TAN(Z) =SIN(Z) / COS(Z) , COT(Z) = 1 / TAN(Z .
(SEC(Z) = 1 / COS(Z) , CSC(Z) = 1 / SIN(Z .
ملحوظة : المتطابقات المثلثية في المتغير الحقيقي تسري للدوال المثلثية في المتغير المركب .
5) الدوال الزائدية :
SINh(Z) =ez - e-z / 2 , COSh(Z) =ez + e-z / 2 .
(TANh(Z) =SINh(Z) / COSh(Z) , COTh(Z) = 1 / TANh(Z .
(SECh(Z) = 1 / COSh(Z) , CSCh(Z) = 1 / SINh(Z .
ملحوظة : المتطابقات للدوال الزائدية الحقيقية تبقى صحيحة للدوال الزائدية المركبة .
6) الدوال اللوغاريتمية :
Log(z) = Log(r) + iQ , r = |z| , Q =Arg(z) , z # 0 .
ملحوظة : - (Arg(z تعني قيم الزاوية Q .
- تعارف المتخصصون على أن Log تدل على Ln
اسهامات العرب في الرياضيات :
أولا : في مجال الحساب :
يعتبر علماء العرب أول من طور العمليات الحسابية الأربع ، الجمع والتضعيف ، التنصيف ، التفريق ،
الضرب والقسمة ، كما أن لهم الفضل في عمليات استخراج الجذور .
وقد قاموا بتقسيم الأعداد إلى ثلاثة أنواع هي :
1- أعداد تامة : وهي التي قننها أبو البنا المراكشي بقوله أن العدد التام هو العدد الذي يساوي مجموع أجزاءه (قواسمه) .
العدد 6 عدد تام لأن 6 = 1 + 2 + 3
2- أعداد زائدة : العدد الزائد هو ما يكون أقل من مجموع أجزائه (قواسمه) .
العدد 12 عدد زائد لأن 12 < 1+2+3+4+6
3- العدد الناقص : وهو العدد الذي يكون أكبر من مجموع أجزائه .
مثل العدد 10 > 1+2+5
كما أوجد ثابت بن قرة قاعدة للأعداد المتحابة وهي أن يكون مجموع قواسم أ حد العددين مساويا للآخر فمثلا :
(220 ،284) عددان متاحابان لأن :
مجموع قواسم 220 : 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 =284
مجموع قواسم 284 : 1+2+4+71+142 =220
كما قام الكاشي بوضع الكسور العشرية في كتاب الرسالة المحيطية ولأول مرة بالتاريخ ، حيث عبرعن:
2ط = 6.283185.7179865
ثانيا : في مجال الجبر:
أول كتاب عرف في الجبر هو كتاب الخوارزمي : الجبر والمقابلة ، والذي صنف به المعادلات كما في الشكل المقابل .
وقد ذكر الخوارزمي بأن الجبر يقوم على ثلاث ضروب هي : جذور وأموال وعدد .
المال يقابل س2 ، والجذر أسماه شيئا ، وميز العددبالشىء والمال بتسميته دراهم ، حيث قال مال وجذر يعادل درهمين .
وعند جبر المعادلة يقوم بإزالة الحدود السالبة ، وعند المقابلة يقوم بحذف الحدود المتشابهة من الطرفين .
كما توصل العرب إلى حل معادلات من قوى أعلى على الصورة :
م س2ن + ب س ن = جـ
وقد قدم العرب حلولا لمعادلات من الدرجة الثالثة والرابعة واكتشفو النظرية التي تقول :
مجموع مكعبين لايكون عددا مكعبا ، وهذه هي أساس نظرية فيرما الشهيرة :
أ ن + ب ن = جـ ن التي لايمكن حلها عند ن>2
ثالثا : في مجال الهندسة وحساب المثلثات :
لقد ترجم العرب كتاب أصول اقليدس ، وزادوا عليه ، حيث قدم ابن الهيثم نظريات ومسائل منها "كيف ترسم مستقيمين من نقطتين
مفروضتين داخل دائرة معلومة إلى أي نقطة مفروضة على محيطها بحيث يصنعان مع المماس المرسوم من تلك النقطة زاويتين متساويتين " .
كما قدم البيروني برهانا لمساحة المثلث بدلالة أضلاعه .كما أن الغرب عرفوا هندسة إقليدس عن طريق العرب .
ومن مآثر العرب في حساب المثلثات هو استخدامهم النسب المثلثية الست حيث كشف التباني العلاقة:
جتاأ =جتاب جتاجـ + جاب جاجـ جتاأ ، الخاصة بالمثلث الكروي المائل حيث أن أ ، ب ، جـ تمثل أضلاع المثلث ، أ زاوية أ بالمثلث.
واكتشف جابر بن الأفلح العلاقة : جتاب = جتاب جاأ ، الخاصة بالمثلث الكروي القائم الزاوية في جـ .
كما اكتشف التباني قانون إيجاد ارتفاع الشمس :
س = أجا (90 - أ) \ جاأ
وقد اكتشف العرب العلاقات بين الجيب والمماس والقاطع ونظائرهما ،
ومعرفة القاعدة الأساسية لمساحة المثلثات الكروية وعملوا الجداول الرياضية للمماس والقاطع وقاطع التمام .
وقد حل القباني المعادلة جاس\جتاس =1 ، حيث توصل إلى أن :
جاس = س \ (جذر س2 + 1) .
وتوصل ابن يونس إلى القانون :
جتاس جتاص =1\2 جتا(س+ص) + 1\2 جتا(س - ص) .
نبذه عن بعض علماء الرياضيات :
أبن الهيثم ( 965 - 1039 م )
من مواليد البصرة ولكنه نزل مصر وعاش فيها ، وقد بلغ كعالم رياضي حدوداً مشرفة.
تجلت عبقريته في تطبيق الهندسة والمعادلات والأرقام ومسائل الفلك المختلفة .
وقد وضع أربعة قوانين لإيجاد مجموع الأعداد المرفوعة إلى القوى 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، كما عمل في المربعات السحرية
ووضع قوانين صحيحة لمساحات الكرة والهرم والأسطوانة المائلة والقطاع الدائري والقطعة الدائرية . ل
ابن الهيثم مؤلفات عديدة وعديدة جداً في الرياضيات وعلم الطبيعة نذكر منها:
- كتاب الجامع في أصول علم الحساب .
- كتاب في المساحة على جهة الأصول.
- مقالة في التحليل و التركيب.
الخوارزمي ( 780 - 850هـ )
هو محمد بن موسى الخوارزمي أول من ألف في الحساب والجبر والأزياج من رياضيي العرب.
ويعد كتاب " الجبر والمقابلة " من أهم كتب هذا العالم حيث نظم فيه الترقيم العشري . ومن أشهر كتبه :
- كتاب الزيج الأول - كتاب الزيج الثاني - كتاب الرخامة.
وقد ذكر الخوارزمي ستة أنواع من المعادلات الجبرية ووضع لها حلولاً مختلفة .
والحق يقال وبكل موضوعية لقد وضع الخوارزمي في علم الجبر كعلم مستقل عن العلوم الرياضية الأخرى
وهو مبتكر لكثير من بحوث الجبر التي تدرس الآن في المدارس الثانوية العليا ،
فكل العلماء الذين جاؤوا بعده مدينون له في الكثير من الأمور.
أقليدس ( 250 - 280) ق.م
عالم رياضيات إغريقي تعلم في أثينا وتدرب في الأكاديمية وأكمل تعليمه في الإسكندرية.
ونجد جل أعمال أقليدس في كتاب العناصر وقد ترجم هذا الكتاب إلى سائر لغات العالم قديماً وحديثاً
ويعد هذا الكتاب النموذج الرياضي للطرق الاستنتاجية . خلال ألفي سنة ونيف .
إن حياة أقليدس مجهولة جهلاً تاماً ، ولطالما خلط بينه وبين الفيلسوف ( اقليدس دي ميجار ) .
وهناك مقولة تقول : " إن الرياضيات التي تكلم عنها أفلاطون وأرسطو هي أقدم من رياضيات كتاب " العناصر ".
فيثاغورس
ولد في ساموس نحو سنة 580 ق.م ، وتوفي حوالي 504 ق.م.
فيلسوف وعالم رياضيات . عاش زمناً في مصر فدرس الخرائط السماوية . ثم استقر في كريتون اليونانية سنة 530 ق.م ،
وفيها أسس مدرسة فلسفية . كان يقول أن الأعداد عي عناصر كل الأشياء ، وإن كل المخلوقات يمكن الدلالة عليها بالعدد ،
وإن العالم كله تناغم وحساب . عزى إليه تأثره بفلاسفة الهنود . هو أحد مؤسسي علم الرياضيات في العالم ،
ومن أهم نظرياته الرياضية هي التي تقول : إن مربع الوتر في المثلث القائم الزاوية ، يساوي مجموع مربعي الضلعين القائمين .
وضع العلاقات الرياضية التي تحسب الأصوات الموسيقية .
وقيل إنه تنبأ بنظرية دوران الأرض حول نفسها.
لماذا يتمتع الموهوبون في الرياضيات بذكاء أكبر؟
دراسة تظهر ان فصي المخ للنابغين في الرياضيات يتمتعان بدقة غير تقليدية بالمقارنة مع ذوي القدرات المتوسطة.
يبدو أن هناك شيئا مختلفا بالفعل في تركيبة مخ أولئك النابهين في الرياضيات.
فقد أظهرت تجارب جديدة أن الموهوبين في الرياضيات يتمتعون بقدرات أكبر في جعل فصي المخ يعملان معا بقدر أكبر من التعاون.
وهذا يساعد في فهم الرياضيات لانه يدعم مهارات التخيل و ادراك الفراغ وذلك حسبما ذكر مايكل أبولي من جامعة ملبورن.
وقام أبولي ومعه فريق من زملائه في الولايات المتحدة بإجراء تجارب على 60 صبيا وشابا تتراوح أعمارهم بين 13 وأكثر من عشرين سنة
بقليل وكان 18 من هؤلاء من الموهوبين في الرياضيات والذين تم اختيارهم من
برنامج بجامعة ايوا يعمل على اكتشاف النابغين من بين الطلاب صغار السن.
وشاهد المختبرون حروفا كبيرة لامعة على شاشة. وكانت الحروف مؤلفة من حروف صغيرة وضعت في مجموعة لتشكل حرف واحد كبير ،
عدد كبير من حرف "تي" على سبيل المثال تجمعت لتشكل حرف "تي" واحد كبير".
وسلط الضوء على هذه النماذج من الحروف بحيث نرى بالعين اليمنى مرة وبالعين اليسرى مرة أخرى ثم بالعينين معا.
وطلب من الاولاد أن يتعرفوا بأسرع ما يمكن على الحروف الصغيرة والحروف الكبيرة.
بالنسبة للاولاد أصحاب القدرات المتوسطة في الرياضيات فإن الجزء الايسر من المخ (المتصل بالعين اليمنى) كان الاسرع في التعرف
على الحروف الصغيرة والجزء الايمن من المخ كان الاسرع في التعرف على الحروف الاكبر.
وكان هذا متوقعا حيث تظهر البحوث أن الجزء الايسر يتمتع بالدقة في تبين ا لتفاصيل وهي في هذه الحالة الحروف الصغيرة وأن الجزء الايمن
يتمتع بالدقة في استيعاب الصورة ككل أي الحروف الكبيرة هنا. وأن الجزء الايسر يستوعب "الاجزاء" فيما يستوعب الجزء الايمن "الكليات".
لكن الاولاد الموهوبين في الرياضيات لم يظهروا مثل هذه الاختلافات. فقد أجاد فصا المخ وبصورة متساوية كما أن الموهوبين في الرياضيات
كانوا أسرع بكثير في الاختبارات التي طلب فيها من فصي المخ أن يتعاونا.
وهذه النتائج تدعم النظرية القائلة أن الموهوبين في الرياضيات يمكنهم نقل المعلومات بين فصي المخ بشكل أفضل.
ارقام عجيبه :
الرياضيات مليئة بالاسرار والعجائب الرياضية منها ماتم اكتشافها ومنها من لم تعرف لحتى الآن ، وسوف أعرض مقتطفات منها .
1) لاحظ مضاعفات كل من 7 ، 9 لكل س < 10 ، ثم أنظر العجب في ناتج الضرب .
(س × 7) × 15873 = س × 111111 (س × 9) × 123456789 = س × 111111111
7 × 15873 = 111111
14 × 15873 = 222222
21 × 15873 = 333333
جرب البقية
9 × 123456789 = 111111111
18 × 123456789 = 222222222
27 × 123456789 = 333333333
جرب البقية .
2 ) من عجائب الرقم 8
1×8+1=9
12×8+2=98
123×8+3=987
1234×8+4=9876
12345×8+5=98765
123456×8+6=987654
1234567×8+7=9876543
12345678×8+8=98765432
123456789×9+9=987654321
من عجائب الرقم 8 و 9
0×9+8=8
9×9+7=88
98×9+6=888
987×9+5=8888
9876×9+4=88888
98765×9+3=888888
4 98765×9+2=8888888
9876543×9+1=88888888
98765432×9+0=888888888
3 ) من عجائب الرقم 9
987654321 × 9 = 8888888889
98765432 × 9 = 888888888
9876543 × 9 = 88888887
987654 × 9 = 8888886
98765 × 9 = 888885
9876 × 9 = 88884
987 × 9 = 8883
98 × 9 = 882
9 × 9 = 81
من عجائب الرقم 9 أيضاً ما نلاحظه هنا :
123456789× 9 = 1111111101
12345678 × 9 = 111111102
1234567 × 9 = 11111103
123456 × 9 = 1111104
12345 × 9 = 111105
1234 × 9 = 11106
123 × 9 = 1107
12 × 9 = 108
1 × 9 = 09
9×0+1=1
9×1+2=11
9×12+3=111
9×123+4=1111
9×1234+5=11111
9×12345+6=111111
9×123456+7=1111111
9×1234567+8=11111111
9×12345678+9=111111111
4 ) الرقم 3
3 × 037 = 111
3 × 037037 = 111111
3 × 037037037 = 111111111
وهكذا للبقية .
5) ليكن س هو رقم الآحاد ، ص هو باقي الرقم فإن :
أي عدد : (9 × ص) + (س + ص) = نفس العدد
27 : (9 × 2) + (7 + 2) = 27
145 : (9 × 14) + (5 + 14) = 145
جرب أي عدد .
6 )قابلية القسمة
ليكن س هو رقم الآحاد ، ص هو باقي الرقم فإن :
- يقبل العدد القسمة على 7 إذا كان (5س + ص) يقبل القسمة على 7 .
أو إذا كان (ص - 2س) يقبل القسمة على 7 .
فمثلا : 448 يقبل القسمة على 7 لأن : 5 × 8 + 44 = 84 يقبل القسمة على 7 .
أو 44 - 2 × 8 = 28 يقبل القسمة على 7 .
جرب قابلية القسمة لما يلي :
- يقبل العدد القسمة على 11 إذا كان (ص - س) يقبل القسمة على 11 .
- يقبل العدد القسمة على 13 إذا كان (ص + 4س) يقبل القسمة على 13 .
- يقبل العدد القسمة على 17 إذا كان (ص - 5س) يقبل القسمة على 17 .
- يقبل العدد القسمة على 19 إذا كان (ص + 2س) يقبل القسمة على 19 .
- يقبل العدد القسمة على 23 إذا كان (ص + 7س) يقبل القسمة على 23 .
- يقبل العدد القسمة على 29 إذا كان (ص + 3س) يقبل القسمة على 29 .
7 ) أعداد مختلفة حاصل جمعها يساوي حاصل قسمتها .
لاحظ الترتيب في وضع الأعداد ، علما بأن عملية القسمة غير إبدالية .
منقول
