من طرف بحث عن الرياضيات قصير
لعب العلماء العرب والمسلمون دورا كبيرا في تطوير علوم الرياضيات والفلك والفيزياء والتي كانت مترابطة معا بشكل كبير في عصورهم ، فالعرب جمعوا من شتى أنحاء المعمورة المعارف الرياضية ، وعملوا على الدمج بين المعارف الشرقية والغربية والمحلية ، والآثار اليونانية والبيزنطية والهندية والفارسية وغيرها الكثير ، بالإضافة إلى إثرائهم لها والإضافة عليها .
علماء الرياضيات في الحضارة العربية الإسلامية
الخوارزمي | الجوهري | الكندي | حنين | ابن موسى | المهاني | ثابت بن قرة | أحمد بن يوسف | أبو كميل | البطاني | سنان | النيريزي | أبو جعفر الخازن | إبراهيم بن سنان | الأقلديسي | أبو الوفاء | الكوحي | الخجندي | السجزي | ابن يونس | الخراجي | ابن الهيثم | منصور أبو نصر | البيروني | ابن سينا | ابن طاهر البغدادي | الجياني | النساوي | عمر الخيام | جابر بن أفلح | شرف الدين التوزي | ناصر الدين التوزي | محي الدين المغربي | السمرقندي | ابن البنا | الفارسي | الخليلي | قاضي زاده | الكاشي | الأموي | القلاصدي | ابن باجة
الخوارزمي
أبو عبد الله محمد بن موسى الخوارزمي (أبو جعفر) (حوالي 781- حوالي 845 )، كان من اوائل علماء الرياضيات المسلمين حيث ساهمت اعماله بدور كبير في تقدم الرياضيات في عصره.
الخوارزمي كعالم الرياضيات
ابتكر الخوارزمي مفهوم الخوارزمية في الرياضيات و علم الحاسوب، (مما اعطاه لقب ابي علم الحاسوب عند البعض)، حتى ان كلمة خوارزمية في العديد من اللغات (و منها algorithm بالانكليزية) اشتقت من اسمه، بالاضافة لذلك، قام الخوارزمي باعمال هامة في حقول الجبر و المثلثات والفلك و الجغرافية و رسم الخرائط. ادت اعماله المنهجية و المنطقية في حل المعادلات من الدرجة الثانية الى نشوء علم الجبر، حتى ان العلم اخذ اسمه من كتابه حساب الجبر و المقابلة، الذي نشره عام 830، و انتقلت هذه الكلمة الى العديد من اللغات (Algebra في الانكليزية).
والبيروني
أبو الريحان محمد بن أحمد البيروني ولد في بيرون عاصمة خوارزم(تركستان) حوالي سنة (326هـ،973م و توفي سنة 440هـ،1048م) و اطلق عليه المستشرقون تسمية بطليموس العرب
كان عالم رياضيات و فيزياء وكان له إهتمامات في مجال الصيدلة والكتابة الموسوعية و الفلك والتاريخ. سميت فوهة بركانية على سطح القمر بإسمه إلى جانب 300 إسما لامعا تم إختياره لتسمية الفوهات البركانية على القمر ومنهم الخوارزمي و أرسطو وابن سينا [1]. ولد في خوارزم التابعة حاليا لأوزبكستان والتي كانت في عهده تابعة لسلالة السامانيين في بلاد فارس درس الرياضيات على يد العالم منصور أبو نصر (970 - 1036) وعاصر ابن سينا (980 - 1037) و ابن مسكوويه (932 - 1030) الفيلسوفين من مدينة الري الواقعة في محافظة طهران . تعلم اللغة اليونانية و السنسكريتية خلال رحلاته و كتب باللغة العربية و الفارسية. البيروني بلغة خوارزم تعني الغريب أو الآتي من خارج البلدة، كتب البيروني العديد من المؤلفات في مسائل علمية وتاريخية وفلكية وله مساهمات في حساب المثلثات والدائرة و خطوط الطول والعرض، ودوران الأرض و الفرق بين سرعة الضوء وسرعة الصوت،هذا بالإضافة إلى ما كتبه في تاريخ الهند [2] .إشتهر ايضا بكتاباته عن الصيدلة و الأدوية كتب في أواخر حياته كتاباً أسماه "الصيدنة في الطب" وكان الكتاب عن ماهيات الأدوية ومعرفة أسمائها.
وثابت بن قره
ثابت بن قرة بن مروان (221 هـ/836 م - 26 صفر 288 هـ/19 فبراير 901 م) عالم عربي اشتهر بالفلك والرياضيات والهندسة والموسيقى ولد في حران سنة 221 هـ وتوفي في بغداد سنة 288 هـ.
كنيته أبو الحسن كان على مذهب الصابئة. كان من المقربين إلى المعتضد حيث قدمه إليه الخوارزمي المعروف.
(( البحث ))
نظرية فيثاغورث
للمثلث القائم الزاوية خاصية ينفرد بها عن بقية المثلثات برهنا الفيلسوف اليوناني الشهير ـ فيثاغورث ـ 580 قبل الميلاد ـ وقد عرفت باسمه رغم أنها كانت معروفة ومطبقة عمليا لدى قدماء المصريين والبابليين والهنود قبل عصر فيثاغورث
نص نظرية فيثاغورث
في المثلث القائم الزاوية يكون مربع طول الوتر مساويا مجموع مربعي طولي ساقيه
((اساليب التفكير السليم في الرياضيات))
يصادف الفرد دوما في حياته اليومية بعض الأمور التي تحتاج منه وقفة ليفكر فيها وقد تطول هذه الوقفة إذا كان الأمر صعبا أو غير واضح فيكون هذا الأمر بالنسبة له بمثابة مشكلة تؤرقه إلى أن يجد لها الحل المعقول وهذا لا يختلف كثير ا بالنسبة للتلميذ أثناء دراسته بالمدرسة إذا عليه أن يقف أمام بعض المشكلات التي تعترضه أثناء دراسته ليفكر فيها وبالطبع لن يستريح طالما لم يسيطر على الموقف تماما بعني انه لن يهدا باله ما لم يجد الحل الصحيح والمناسب للمشكلات التي يقابلها أو المفروضة عليه أن يدرسها وبصفة عامة فان أهم ما يميز الإنسان( سواء كان مواطنا عاديا أو متخصصا في أي مجال أو طالبا في أية مرحلة دراسية ) عن سائر الكائنات والمخلوقات هو قدرته على التفكير الذي وهبه الله إياه وعليه تكون إحدى واجبات التربية الحديثة هي تنمية التفكير العقلي للفرد ليكون اكثر قدرة على حل مشكلاته ومن ثم يستطيع بسهولة أن يواجه متطلبات حياته على المدى القصير والبعيد وبذلك تسهم التربية في تكوين المواطن الصالح ذي الشخصية المتكاملة الجوانب
لذا كان من أهم أهداف تدريس الرياضيات الحديثة تدريب الطلاب على أساليب التفكير السليم . وسوف نعرض هنا أهم مميزات التفكير السليم وأنواعه وكيفية تدريب الطلاب على استخدامه 0
لماذا الرياضيات؟
إن للرياضيات من المميزات من حيث المحتوى ومن الطريقة ما يجعلها مجالا ممتازا لتدريب التلاميذ على أنماط أساليب التفكير السليم .
وينبعث ذلك من الخصائص التالية :
1) إن الرياضيات لغة تمتاز عن اللغة المعتادة بدقة التعبير ووضوحه وإيجازه .
2) إن الرياضيات من حيث الموضوع لها مميزات خاصة في تنمية التفكير الموضوعي وذلك ببروز الناحية المنطقية ولوضوح حقائقها وخلوها من العوامل العاطفية التي تؤثر في استخلاص النتائج .
3) الرياضيات هي الطريق إلى التفكير في هذا العالم فهي اللغة التي تتكلم بها العلوم الطبيعية
4) الرياضيات تعتمد اعتمادا كليا على اللغة الدقيقة والمنطق الرياضي السليم وتعمل على تعليم الطالب التفكير السليم والعمل القويم
مميزات التفكير السليم
1) لا يتأثر بالانفعال أو العاطفة ولا يخضع للأهواء الشخصية والآراء الذاتية لأنه يقوم على الحقائق وعلى التعبير والروية وعدم الاندفاع .
2) أنه لا يقبل رأياً إلا إذا قام الدليل على صحته وأثبتت الأساليب المختلفة من مشاهدة وتجارب ومعلومات أنه رأي سليم.
3) إن اكتساب الأساليب السليمة في التفكير يؤدي بالفرد إلى الحيوية فيتسع صدره للنقد البناء ويتقبل آراء غيره بل ويعدل آراءه في ضوء ما يثبت من حقائق وما يجد من براهين.وفي هذا المجال فانه ينتفع بنتائج التفكير وبما يصل إليه الآخرون من آراء علمية سليمة .
4) إن هذه الأساليب تؤدي إلى المرونة وتجعل الإنسان يتخلص من الجمود.
5) تهيئة الطالب لحل مشاكل المجتمع بشكل واسع وسريع
6) تعويد الطالب على الدقة في التعبير وعلى التخطيط السليم
7) تعين الطالب على الابتعاد عن مز الق الارتجال والتخبط
أساليب التفكير السليم
أولاً: التفكير التأملي :
ونقصد به أن يتأمل الطالب الموقف الذي أمامه ويحلله إلى عناصره ويرسم الخطط اللازمة لفهمه حتى يصل إلى النتائج التي يتطلبها هذا الموقف ثم يقوم هذه النتائج في ضوء الخطط التي وضعت له .
ويبدأ التفكير التأملي عندما يشعر الإنسان بالارتباك إزاء مشكلة يواجهها أو مسألة يود حلها فيعمل على تحديد المشكلة وفرض فروض الحل ومحاولة اختبارها .
مثال: إذا تعرضنا لتمرين هندسي مطلوب فيه إثبات أن قطعتين مستقيمتين متساويتان . فيجب فرض الفرضين التاليين
والتأكد من صحتهما أو صحة أحدهما على الأقل :
أ) هل القطعتان المستقيمتان هما ضلعان في شكل هندسي منتظم ؟
ب) هل القطعتان المستقيمتان هما ضلعان متناظران في مثلثين متطابقين ؟
وفي ضوء اختبار صحة الفرضين السابقين تكون نقطة البداية للحل الصحيح .
ولكي يكتسب الطلاب هذا النوع من التفكير يجب :
1- التأمل في رأس المسألة أي قراءتها قراءة واعية دقيقة حتى يتأكد من أن العبارات والمصطلحات الرياضية التي تحتويها مألوفة لديهم .
2- أن يفحص الطالب عبارات المسألة جيداً لتحديد البيانات المعطاة فيها ثم تحديد ما هو المطلوب إيجاده ( أي التمييز بين المعطيات والمطلوب ) .
3- أن يختار المعلم الطريقة المناسبة التي يساعد بها الطالب على أن يحدد العمليات التي ينبغي إجراؤها وترتيبها لحل المسألة وذلك عن طريق مناقشته للطريقة المناسبة لطبيعة المسألة والتي توضح للتلميذ الرؤية في اختيار العمليات التي توصل إلى الحل السليم .
4- أن تقوّم الطريقة التي اتبعت في حل المسألة وهل هي مناسبة أم هناك طريقة أفضل . وإذا اتضح أثناء مناقشة وتسجيل الحل بعض الأخطاء عند التلاميذ فيجب على المعلم أن يتعرف على أسبابها وكيفية علاجها ثم يوجه طريقته وجهة أخرى تؤدي إلى تجنيب التلاميذ الوقوع فيها
ثانياً: التفكير الناقد:
ويعني تكوين عادة الامتناع عن إصدار الأحكام إلا إذا اكتملت الأدلة وعدم الاعتماد على الميول الخاصة والتحيز لجهة معينة أو لشخص ما .
ولتدريب الطلاب على هذا الأسلوب التفكيري :1- ينبغي أن يناقش المعلم تلاميذه في صحة كل خطوة من خطوات حل المسألة .
2- يمكن استخدام مسائل وتمارين تحتوي على معلومات زائدة أو لا تحتوي على جميع البيانات والمعلومات اللازمة للحل .
وهذا النوع من التمارين يفيد في تأكيد ضرورة التفكير الناقد
وعدم محاولة استخدام جميع المعلومات الموجودة على نحو آلي حتى لا يصدر الحل على أساس أدلة غير سليمة
ثالثاً:التفكير العلاقي:
وهو يقوم على إدراك العلاقات بين العوامل المختلفة في المواقف أو المشكلة التي تواجه الفرد والمسألة الرياضية تحتوي على عدد من العناصر إذا أدرك التلميذ العلاقة بينها إدراكا سليماً أدى ذلك إلى الحل السليم.
ولكي يتدرب الطالب على هذا النوع هذا النوع من التفكير :
1-ينبغي على المعلم عند تقديمه مسألة رياضية أن يعطي لطلابه الفرصة المناسبة لقراءتها وتأملها .
2-رسم خطة مناسبة لمناقشة الطلاب في طريقة الحل وطريقة التحليل للمسألة .
3- تدريب الطلاب على إدراك العلاقات المختلفة بين عناصر كل خطوة وبين الخطوات بعضها البعض واكتشاف أخطاء الاستدلال التي تقوم على عدم إدراك صحيح لهذه العلاقات .
رابعاً: التفكير الدقيق
إن من أهم ما ينبغي أن يكتسبه الطالب من دراسة الرياضيات المهارة في استخدام التفكير الدقيق في حل ما يواجهه من مشكلات ومواقف اجتماعية .
ولكي يتدرب الطلاب على هذا النوع من أساليب التفكير:
1- يجب على المعلم أن يكون القدوة الحسنة في التعبير عن أفكاره بكل دقة .
2- يجب أن يطلب المعلم من طلابه الدقة في التفكير والتعبير سواء في مناقشتهم الشفهية أو في الأعمال التحريرية .
خامساً: التفكير الاستقرائي
يعتمد هذا النوع من التفكير على استنتاج حالات عامة من عدة حالات خاصة. ويستخدم هذا النوع من التفكير كثيراً في الهندسة العملية في استنتاج العلاقة بين حالات المستقيمات المتوازية وفي إثبات تساوي الزاويتين المتقابلتين بالرأس وفي إيجاد مجموع زوايا المثلث وغيرها .مثال: للوصول إلى مجموع زوايا المثلث تساوي 5180 نرسم مثلثات مختلفة ( حادة- منفرجة- قائمة) ونقيس مجموع زوايا المثلث في كل حالة فإذا كان المجموع 5180 وكانت هذه النتيجة هي نفسها التي توصل إليها أفراد مختلفون بمثلثات مختلفة فإننا نستنتج القاعدة ( مجموع زوايا المثلث تساوي 5180).
ولكي يتدرب الطلب على هذا النوع من الأساليب :
1- يجب ألا يغالي المعلم في استخدامه فيعتمد عليه كوسيلة للبرهان ولكن ينبغي أن يستخدمه كوسيلة جيدة يمكن عن طريقها الكشف عن ما بين الموضوعات من علاقة متشابكة .
2-يجب على المعلم أن يحرص ألا يقع الطلاب في الوصول إلى تعميمات خاطئة ناتجة من الحالات الخاصة غير الكافية .
3-يجب أن يوضح المعلم للطالب عند استنتاجه قاعدة معينة بأنه لا يمكن تعميم هذه القاعدة إلا إذا تم استنتاجها من جميع طلاب الفصل وجميع الفصول في المدرسة والمدارس المختلفة وهكذا ...)
سادساً: التفكير الاستدلالي
ويعتمد هذا الأسلوب من التفكير على استنتاج حالات خاصة من حالات عامة . فالقوانين الرياضية تعتبر أسسا عامة والمسائل التي تشتمل على هذه القوانين تعتبر حالات خاصة وكذلك النظريات الهندسية تعتبر قاعدة عامة وكل تمرين هندسي يعتبر حالة خاصة .
ولكي يتدرب الطالب على هذا النوع من الأساليب :
1- يجب أن يوضح المعلم أن كل خطوة من خطوات التفكير الاستدلالي لابد وأن تكون مدعمة بقضية صحيحة.
2- توضيح أن أي خطوة غير مدعمة لا تعتبر صحيحة . فمثلاً لإثبات أن القوس أ س= القوس ب ص ينبغي التحقق من أحد الشروط التالية :
أ- قياس الزاوية المركزية التي تقابل القوس أ س = قياس الزاوية المركزية التي تقابل القوس ب ص .
ب- قياس الزاوية المحيطية التي طول قوسها أ س = قياس الزاوية المحيطية التي طول قوسها ب ص.
ج- طول الوتر أ س= طول الوتر ب ص .
سابعاً: التفكير الحدسي
هو الخاص بالاكتشاف الرياضي، و الاكتشاف الرياضي يمر بمراحل منها :
1-مرحلة التحضير: وهي المرحلة الخاصة بالملاحظة والتجريب .
2-مرحلة المعالجة الرياضية والعمل الدائب المتواصل إلى الحل أو الكشف الجديد .
3-مرحلة التحضين: ويتم في آخرها عن طريق التفكير الحدسي ( وهو ببساطة التفكير التخميني للحل دون أن يعرف سببه) .
4-مرحلة تحقيق النتيجة التي توصل إليها عن طريق البرهان الرياضي والمنطق.
5-مرحلة التطبيق.
ثامنا:أسلوب حل المشكلات
نعني بحل المشكلة التعرف على وسائل وطرائق للتغلب على العوائق التي تعترض الوصول إلى الهدف وتوظيفها بنجاح للوصول إليه وهناك خطوات لحل المشكلة تتمثل فيما يلي :
1-تحليل المشكلة وفهم ما بها من معلومات وعلاقات ورموز وأشكال وغير ذلك
2- وضع خطة الحل:فرض الفروض للحل واختبار هذه الفروض لتحديد ما يقود منها لحل المشكلة وجمع مزيد من المعلومات عنه
3- تنفيذ خطة الحل:استخدام الفرض الذي يقود إلى حل المشكلة
4-التأكد من صحة الحل
مثال:ثلاثة أعداد متتالية أصغرها س ومجموعها 321 فما هي الأعداد؟
يطلب المعلم من الطالب قراءة المسالة بتأن ويترك لهم الفرصة والوقت الكافي للتفكير في الحل ثم يبدأ المناقشة على النحو التالي :
-من يعرف ما معنى الأعداد المتتالية ؟
-يطلب من أحد الطلاب أن يذكر ثلاثة أعداد طبيعية متتالية ويناقش طالب ثاني أو ثالث إذا اخفق الاول
-يطرح بعض المجموعات ويطلب من الطلاب تحديد المتتالية منها
-اذا كان أصغر هذه الأعداد هو س فكم تكون الأعداد التالية
- ومن خلال المناقشة بين المعلم والطلاب وتوضيح الخطأ لمن يخطأ ويترك فرصة للتفكير وتصحيح الخطأ
ثم يسأل الطلاب عن المشكلة في هذه المسألة ويساعدهم على استنباط الفرض بأن الأعداد الثلاثة تكون على النحو التالي :
س ، س+1 ، س+2 ويكون مجموعهم يساوي 3س+3
3س+3=321 ومنها نستنتج أن س= 106
ثم يطلب من أحد الطلاب تحديد الأعداد الثلاثة المتتالية (106،107،108)
وفي النهاية يطلب من أحد الطلاب أن يتحقق من صحة النتيجة التي وصل إليها زميله(106+107+108=321)
كيف يساعد المدرس تلاميذه في اكتساب المهارة في ممارسة وأسلوب حل المشكلات:
-فهم معاني الألفاظ والتعبيرات الواردة في المسالة
-فهم العلاقات العامة في المسالة والعلاقات داخل كل جزء منها على حده
-القدرة على التعبير عن مضمون المسالة بلغة الطالب
-تصور المسالة تصورا ذهنيا وتمثيلها بالمحسوسات والأشكال الهندسية كلما أمكن0
وبصفة عامة
حتى يمارس الطلاب أساليب التفكير السابقة من خلال دراسة الرياضيات يحاول معلم الرياضيات تحقيق ما يلي :
1) ممارسة الطالب لأساليب التفكير المختلفة السابقة ممارسة عملية داخل الفصل وخارجه
2) إدراك الطالب لحدود الثقة في النتائج التي يصل إليها باستخدام كل أسلوب من أساليب التفكير .
3) إدراك الطالب للفرق بين القضايا مطلقة التعميم والقضايا محدودة التعميم .
4) تأكد الطالب من صحة القضايا التي يعتمد عليها في تفكيره .
5) مراجعة الطالب للنتيجة التي وصل إليها في ضوء القضايا المعطاة والموثوق في صحتها
6) إن يزود المعلم الطالب بتمارين تحتاج إلى تفكير واستنتاج
7) تنمية موهبة الطالب على البحث وراء الأسباب والتعليلات لما يقرا وتطور حاسة الحدس لديه
Cool تنمية فكرة الابتكار لنظريات جديدة حول بعض المفاهيم الرياضية
9) التأكيد بان الرياضيات ليست مجرد حلول مسائل ولكن علاوة على ذلك فإنها
فلسفة وطريقة تفكير رياضية
الخلاصة
· إن الأساليب السابقة لا يمكن فصلها إذ قد يستخدم المعلم أثناء شرحه أكثر من أسلوب والذي يعنينا أنه عن طريق هذه الأساليب كل منها منفرداً أو باجتماع كل اثنين منها أو أكثر هو إكساب الطلاب التفكير الفعال في مواجهة المشاكل في مجال دراسة الرياضيات.
· أن هذه الأساليب تساعدهم على البرهنة وحل المسائل وهذا يدخل في نطاق الإبداع والاختراع . فالطالب أثناء حله للمسألة يكون كالفنان المبدع إذ يمارس المتعة واللذة والألم التي يمارسها الفنان في عملية الإبداع .
· وتصل عملية الحل إلى قمتها والى ذروتها في اللحظة التي تتجمع فيها العناصر في أماكنها المناسبة في المجال المباشر للتفكير فيظهر الحل فجأة عند هذه اللحظة فإن التحليل يسبقها ويأتي بعدها التركيب .
· بالإضافة إلى ذلك فان التفكير الفعال الذي يمكن أن يكتسبه الطالب عن طريق الأساليب السابقة يساعده في حل مشكلاته اليومية أي لم يعد الأمر يقتصر فقط على استخدام هذه الأساليب في حل مسائل الرياضيات ولكنه يصبح سمة مميزة تلازم الطالب ويستخدمها في حل المشكلات التي تصادفه والتي تحتاج إلى الوصول بواسطة الحقائق المعطاة إلى الهدف عن طريق دراسة الحقائق والعلاقات ودراسة الهدف المطلوب ورسم الخطة لعبور الفجوة بين المعطيات والمطلوب واختيار الوسائل اللازمة لذلك وفي والتأكد من الوصول إلى الهدف المنشود.
لعب العلماء العرب والمسلمون دورا كبيرا في تطوير علوم الرياضيات والفلك والفيزياء والتي كانت مترابطة معا بشكل كبير في عصورهم ، فالعرب جمعوا من شتى أنحاء المعمورة المعارف الرياضية ، وعملوا على الدمج بين المعارف الشرقية والغربية والمحلية ، والآثار اليونانية والبيزنطية والهندية والفارسية وغيرها الكثير ، بالإضافة إلى إثرائهم لها والإضافة عليها .
علماء الرياضيات في الحضارة العربية الإسلامية
الخوارزمي | الجوهري | الكندي | حنين | ابن موسى | المهاني | ثابت بن قرة | أحمد بن يوسف | أبو كميل | البطاني | سنان | النيريزي | أبو جعفر الخازن | إبراهيم بن سنان | الأقلديسي | أبو الوفاء | الكوحي | الخجندي | السجزي | ابن يونس | الخراجي | ابن الهيثم | منصور أبو نصر | البيروني | ابن سينا | ابن طاهر البغدادي | الجياني | النساوي | عمر الخيام | جابر بن أفلح | شرف الدين التوزي | ناصر الدين التوزي | محي الدين المغربي | السمرقندي | ابن البنا | الفارسي | الخليلي | قاضي زاده | الكاشي | الأموي | القلاصدي | ابن باجة
الخوارزمي
أبو عبد الله محمد بن موسى الخوارزمي (أبو جعفر) (حوالي 781- حوالي 845 )، كان من اوائل علماء الرياضيات المسلمين حيث ساهمت اعماله بدور كبير في تقدم الرياضيات في عصره.
الخوارزمي كعالم الرياضيات
ابتكر الخوارزمي مفهوم الخوارزمية في الرياضيات و علم الحاسوب، (مما اعطاه لقب ابي علم الحاسوب عند البعض)، حتى ان كلمة خوارزمية في العديد من اللغات (و منها algorithm بالانكليزية) اشتقت من اسمه، بالاضافة لذلك، قام الخوارزمي باعمال هامة في حقول الجبر و المثلثات والفلك و الجغرافية و رسم الخرائط. ادت اعماله المنهجية و المنطقية في حل المعادلات من الدرجة الثانية الى نشوء علم الجبر، حتى ان العلم اخذ اسمه من كتابه حساب الجبر و المقابلة، الذي نشره عام 830، و انتقلت هذه الكلمة الى العديد من اللغات (Algebra في الانكليزية).
والبيروني
أبو الريحان محمد بن أحمد البيروني ولد في بيرون عاصمة خوارزم(تركستان) حوالي سنة (326هـ،973م و توفي سنة 440هـ،1048م) و اطلق عليه المستشرقون تسمية بطليموس العرب
كان عالم رياضيات و فيزياء وكان له إهتمامات في مجال الصيدلة والكتابة الموسوعية و الفلك والتاريخ. سميت فوهة بركانية على سطح القمر بإسمه إلى جانب 300 إسما لامعا تم إختياره لتسمية الفوهات البركانية على القمر ومنهم الخوارزمي و أرسطو وابن سينا [1]. ولد في خوارزم التابعة حاليا لأوزبكستان والتي كانت في عهده تابعة لسلالة السامانيين في بلاد فارس درس الرياضيات على يد العالم منصور أبو نصر (970 - 1036) وعاصر ابن سينا (980 - 1037) و ابن مسكوويه (932 - 1030) الفيلسوفين من مدينة الري الواقعة في محافظة طهران . تعلم اللغة اليونانية و السنسكريتية خلال رحلاته و كتب باللغة العربية و الفارسية. البيروني بلغة خوارزم تعني الغريب أو الآتي من خارج البلدة، كتب البيروني العديد من المؤلفات في مسائل علمية وتاريخية وفلكية وله مساهمات في حساب المثلثات والدائرة و خطوط الطول والعرض، ودوران الأرض و الفرق بين سرعة الضوء وسرعة الصوت،هذا بالإضافة إلى ما كتبه في تاريخ الهند [2] .إشتهر ايضا بكتاباته عن الصيدلة و الأدوية كتب في أواخر حياته كتاباً أسماه "الصيدنة في الطب" وكان الكتاب عن ماهيات الأدوية ومعرفة أسمائها.
وثابت بن قره
ثابت بن قرة بن مروان (221 هـ/836 م - 26 صفر 288 هـ/19 فبراير 901 م) عالم عربي اشتهر بالفلك والرياضيات والهندسة والموسيقى ولد في حران سنة 221 هـ وتوفي في بغداد سنة 288 هـ.
كنيته أبو الحسن كان على مذهب الصابئة. كان من المقربين إلى المعتضد حيث قدمه إليه الخوارزمي المعروف.
(( البحث ))
نظرية فيثاغورث
للمثلث القائم الزاوية خاصية ينفرد بها عن بقية المثلثات برهنا الفيلسوف اليوناني الشهير ـ فيثاغورث ـ 580 قبل الميلاد ـ وقد عرفت باسمه رغم أنها كانت معروفة ومطبقة عمليا لدى قدماء المصريين والبابليين والهنود قبل عصر فيثاغورث
نص نظرية فيثاغورث
في المثلث القائم الزاوية يكون مربع طول الوتر مساويا مجموع مربعي طولي ساقيه
((اساليب التفكير السليم في الرياضيات))
يصادف الفرد دوما في حياته اليومية بعض الأمور التي تحتاج منه وقفة ليفكر فيها وقد تطول هذه الوقفة إذا كان الأمر صعبا أو غير واضح فيكون هذا الأمر بالنسبة له بمثابة مشكلة تؤرقه إلى أن يجد لها الحل المعقول وهذا لا يختلف كثير ا بالنسبة للتلميذ أثناء دراسته بالمدرسة إذا عليه أن يقف أمام بعض المشكلات التي تعترضه أثناء دراسته ليفكر فيها وبالطبع لن يستريح طالما لم يسيطر على الموقف تماما بعني انه لن يهدا باله ما لم يجد الحل الصحيح والمناسب للمشكلات التي يقابلها أو المفروضة عليه أن يدرسها وبصفة عامة فان أهم ما يميز الإنسان( سواء كان مواطنا عاديا أو متخصصا في أي مجال أو طالبا في أية مرحلة دراسية ) عن سائر الكائنات والمخلوقات هو قدرته على التفكير الذي وهبه الله إياه وعليه تكون إحدى واجبات التربية الحديثة هي تنمية التفكير العقلي للفرد ليكون اكثر قدرة على حل مشكلاته ومن ثم يستطيع بسهولة أن يواجه متطلبات حياته على المدى القصير والبعيد وبذلك تسهم التربية في تكوين المواطن الصالح ذي الشخصية المتكاملة الجوانب
لذا كان من أهم أهداف تدريس الرياضيات الحديثة تدريب الطلاب على أساليب التفكير السليم . وسوف نعرض هنا أهم مميزات التفكير السليم وأنواعه وكيفية تدريب الطلاب على استخدامه 0
لماذا الرياضيات؟
إن للرياضيات من المميزات من حيث المحتوى ومن الطريقة ما يجعلها مجالا ممتازا لتدريب التلاميذ على أنماط أساليب التفكير السليم .
وينبعث ذلك من الخصائص التالية :
1) إن الرياضيات لغة تمتاز عن اللغة المعتادة بدقة التعبير ووضوحه وإيجازه .
2) إن الرياضيات من حيث الموضوع لها مميزات خاصة في تنمية التفكير الموضوعي وذلك ببروز الناحية المنطقية ولوضوح حقائقها وخلوها من العوامل العاطفية التي تؤثر في استخلاص النتائج .
3) الرياضيات هي الطريق إلى التفكير في هذا العالم فهي اللغة التي تتكلم بها العلوم الطبيعية
4) الرياضيات تعتمد اعتمادا كليا على اللغة الدقيقة والمنطق الرياضي السليم وتعمل على تعليم الطالب التفكير السليم والعمل القويم
مميزات التفكير السليم
1) لا يتأثر بالانفعال أو العاطفة ولا يخضع للأهواء الشخصية والآراء الذاتية لأنه يقوم على الحقائق وعلى التعبير والروية وعدم الاندفاع .
2) أنه لا يقبل رأياً إلا إذا قام الدليل على صحته وأثبتت الأساليب المختلفة من مشاهدة وتجارب ومعلومات أنه رأي سليم.
3) إن اكتساب الأساليب السليمة في التفكير يؤدي بالفرد إلى الحيوية فيتسع صدره للنقد البناء ويتقبل آراء غيره بل ويعدل آراءه في ضوء ما يثبت من حقائق وما يجد من براهين.وفي هذا المجال فانه ينتفع بنتائج التفكير وبما يصل إليه الآخرون من آراء علمية سليمة .
4) إن هذه الأساليب تؤدي إلى المرونة وتجعل الإنسان يتخلص من الجمود.
5) تهيئة الطالب لحل مشاكل المجتمع بشكل واسع وسريع
6) تعويد الطالب على الدقة في التعبير وعلى التخطيط السليم
7) تعين الطالب على الابتعاد عن مز الق الارتجال والتخبط
أساليب التفكير السليم
أولاً: التفكير التأملي :
ونقصد به أن يتأمل الطالب الموقف الذي أمامه ويحلله إلى عناصره ويرسم الخطط اللازمة لفهمه حتى يصل إلى النتائج التي يتطلبها هذا الموقف ثم يقوم هذه النتائج في ضوء الخطط التي وضعت له .
ويبدأ التفكير التأملي عندما يشعر الإنسان بالارتباك إزاء مشكلة يواجهها أو مسألة يود حلها فيعمل على تحديد المشكلة وفرض فروض الحل ومحاولة اختبارها .
مثال: إذا تعرضنا لتمرين هندسي مطلوب فيه إثبات أن قطعتين مستقيمتين متساويتان . فيجب فرض الفرضين التاليين
والتأكد من صحتهما أو صحة أحدهما على الأقل :
أ) هل القطعتان المستقيمتان هما ضلعان في شكل هندسي منتظم ؟
ب) هل القطعتان المستقيمتان هما ضلعان متناظران في مثلثين متطابقين ؟
وفي ضوء اختبار صحة الفرضين السابقين تكون نقطة البداية للحل الصحيح .
ولكي يكتسب الطلاب هذا النوع من التفكير يجب :
1- التأمل في رأس المسألة أي قراءتها قراءة واعية دقيقة حتى يتأكد من أن العبارات والمصطلحات الرياضية التي تحتويها مألوفة لديهم .
2- أن يفحص الطالب عبارات المسألة جيداً لتحديد البيانات المعطاة فيها ثم تحديد ما هو المطلوب إيجاده ( أي التمييز بين المعطيات والمطلوب ) .
3- أن يختار المعلم الطريقة المناسبة التي يساعد بها الطالب على أن يحدد العمليات التي ينبغي إجراؤها وترتيبها لحل المسألة وذلك عن طريق مناقشته للطريقة المناسبة لطبيعة المسألة والتي توضح للتلميذ الرؤية في اختيار العمليات التي توصل إلى الحل السليم .
4- أن تقوّم الطريقة التي اتبعت في حل المسألة وهل هي مناسبة أم هناك طريقة أفضل . وإذا اتضح أثناء مناقشة وتسجيل الحل بعض الأخطاء عند التلاميذ فيجب على المعلم أن يتعرف على أسبابها وكيفية علاجها ثم يوجه طريقته وجهة أخرى تؤدي إلى تجنيب التلاميذ الوقوع فيها
ثانياً: التفكير الناقد:
ويعني تكوين عادة الامتناع عن إصدار الأحكام إلا إذا اكتملت الأدلة وعدم الاعتماد على الميول الخاصة والتحيز لجهة معينة أو لشخص ما .
ولتدريب الطلاب على هذا الأسلوب التفكيري :1- ينبغي أن يناقش المعلم تلاميذه في صحة كل خطوة من خطوات حل المسألة .
2- يمكن استخدام مسائل وتمارين تحتوي على معلومات زائدة أو لا تحتوي على جميع البيانات والمعلومات اللازمة للحل .
وهذا النوع من التمارين يفيد في تأكيد ضرورة التفكير الناقد
وعدم محاولة استخدام جميع المعلومات الموجودة على نحو آلي حتى لا يصدر الحل على أساس أدلة غير سليمة
ثالثاً:التفكير العلاقي:
وهو يقوم على إدراك العلاقات بين العوامل المختلفة في المواقف أو المشكلة التي تواجه الفرد والمسألة الرياضية تحتوي على عدد من العناصر إذا أدرك التلميذ العلاقة بينها إدراكا سليماً أدى ذلك إلى الحل السليم.
ولكي يتدرب الطالب على هذا النوع هذا النوع من التفكير :
1-ينبغي على المعلم عند تقديمه مسألة رياضية أن يعطي لطلابه الفرصة المناسبة لقراءتها وتأملها .
2-رسم خطة مناسبة لمناقشة الطلاب في طريقة الحل وطريقة التحليل للمسألة .
3- تدريب الطلاب على إدراك العلاقات المختلفة بين عناصر كل خطوة وبين الخطوات بعضها البعض واكتشاف أخطاء الاستدلال التي تقوم على عدم إدراك صحيح لهذه العلاقات .
رابعاً: التفكير الدقيق
إن من أهم ما ينبغي أن يكتسبه الطالب من دراسة الرياضيات المهارة في استخدام التفكير الدقيق في حل ما يواجهه من مشكلات ومواقف اجتماعية .
ولكي يتدرب الطلاب على هذا النوع من أساليب التفكير:
1- يجب على المعلم أن يكون القدوة الحسنة في التعبير عن أفكاره بكل دقة .
2- يجب أن يطلب المعلم من طلابه الدقة في التفكير والتعبير سواء في مناقشتهم الشفهية أو في الأعمال التحريرية .
خامساً: التفكير الاستقرائي
يعتمد هذا النوع من التفكير على استنتاج حالات عامة من عدة حالات خاصة. ويستخدم هذا النوع من التفكير كثيراً في الهندسة العملية في استنتاج العلاقة بين حالات المستقيمات المتوازية وفي إثبات تساوي الزاويتين المتقابلتين بالرأس وفي إيجاد مجموع زوايا المثلث وغيرها .مثال: للوصول إلى مجموع زوايا المثلث تساوي 5180 نرسم مثلثات مختلفة ( حادة- منفرجة- قائمة) ونقيس مجموع زوايا المثلث في كل حالة فإذا كان المجموع 5180 وكانت هذه النتيجة هي نفسها التي توصل إليها أفراد مختلفون بمثلثات مختلفة فإننا نستنتج القاعدة ( مجموع زوايا المثلث تساوي 5180).
ولكي يتدرب الطلب على هذا النوع من الأساليب :
1- يجب ألا يغالي المعلم في استخدامه فيعتمد عليه كوسيلة للبرهان ولكن ينبغي أن يستخدمه كوسيلة جيدة يمكن عن طريقها الكشف عن ما بين الموضوعات من علاقة متشابكة .
2-يجب على المعلم أن يحرص ألا يقع الطلاب في الوصول إلى تعميمات خاطئة ناتجة من الحالات الخاصة غير الكافية .
3-يجب أن يوضح المعلم للطالب عند استنتاجه قاعدة معينة بأنه لا يمكن تعميم هذه القاعدة إلا إذا تم استنتاجها من جميع طلاب الفصل وجميع الفصول في المدرسة والمدارس المختلفة وهكذا ...)
سادساً: التفكير الاستدلالي
ويعتمد هذا الأسلوب من التفكير على استنتاج حالات خاصة من حالات عامة . فالقوانين الرياضية تعتبر أسسا عامة والمسائل التي تشتمل على هذه القوانين تعتبر حالات خاصة وكذلك النظريات الهندسية تعتبر قاعدة عامة وكل تمرين هندسي يعتبر حالة خاصة .
ولكي يتدرب الطالب على هذا النوع من الأساليب :
1- يجب أن يوضح المعلم أن كل خطوة من خطوات التفكير الاستدلالي لابد وأن تكون مدعمة بقضية صحيحة.
2- توضيح أن أي خطوة غير مدعمة لا تعتبر صحيحة . فمثلاً لإثبات أن القوس أ س= القوس ب ص ينبغي التحقق من أحد الشروط التالية :
أ- قياس الزاوية المركزية التي تقابل القوس أ س = قياس الزاوية المركزية التي تقابل القوس ب ص .
ب- قياس الزاوية المحيطية التي طول قوسها أ س = قياس الزاوية المحيطية التي طول قوسها ب ص.
ج- طول الوتر أ س= طول الوتر ب ص .
سابعاً: التفكير الحدسي
هو الخاص بالاكتشاف الرياضي، و الاكتشاف الرياضي يمر بمراحل منها :
1-مرحلة التحضير: وهي المرحلة الخاصة بالملاحظة والتجريب .
2-مرحلة المعالجة الرياضية والعمل الدائب المتواصل إلى الحل أو الكشف الجديد .
3-مرحلة التحضين: ويتم في آخرها عن طريق التفكير الحدسي ( وهو ببساطة التفكير التخميني للحل دون أن يعرف سببه) .
4-مرحلة تحقيق النتيجة التي توصل إليها عن طريق البرهان الرياضي والمنطق.
5-مرحلة التطبيق.
ثامنا:أسلوب حل المشكلات
نعني بحل المشكلة التعرف على وسائل وطرائق للتغلب على العوائق التي تعترض الوصول إلى الهدف وتوظيفها بنجاح للوصول إليه وهناك خطوات لحل المشكلة تتمثل فيما يلي :
1-تحليل المشكلة وفهم ما بها من معلومات وعلاقات ورموز وأشكال وغير ذلك
2- وضع خطة الحل:فرض الفروض للحل واختبار هذه الفروض لتحديد ما يقود منها لحل المشكلة وجمع مزيد من المعلومات عنه
3- تنفيذ خطة الحل:استخدام الفرض الذي يقود إلى حل المشكلة
4-التأكد من صحة الحل
مثال:ثلاثة أعداد متتالية أصغرها س ومجموعها 321 فما هي الأعداد؟
يطلب المعلم من الطالب قراءة المسالة بتأن ويترك لهم الفرصة والوقت الكافي للتفكير في الحل ثم يبدأ المناقشة على النحو التالي :
-من يعرف ما معنى الأعداد المتتالية ؟
-يطلب من أحد الطلاب أن يذكر ثلاثة أعداد طبيعية متتالية ويناقش طالب ثاني أو ثالث إذا اخفق الاول
-يطرح بعض المجموعات ويطلب من الطلاب تحديد المتتالية منها
-اذا كان أصغر هذه الأعداد هو س فكم تكون الأعداد التالية
- ومن خلال المناقشة بين المعلم والطلاب وتوضيح الخطأ لمن يخطأ ويترك فرصة للتفكير وتصحيح الخطأ
ثم يسأل الطلاب عن المشكلة في هذه المسألة ويساعدهم على استنباط الفرض بأن الأعداد الثلاثة تكون على النحو التالي :
س ، س+1 ، س+2 ويكون مجموعهم يساوي 3س+3
3س+3=321 ومنها نستنتج أن س= 106
ثم يطلب من أحد الطلاب تحديد الأعداد الثلاثة المتتالية (106،107،108)
وفي النهاية يطلب من أحد الطلاب أن يتحقق من صحة النتيجة التي وصل إليها زميله(106+107+108=321)
كيف يساعد المدرس تلاميذه في اكتساب المهارة في ممارسة وأسلوب حل المشكلات:
-فهم معاني الألفاظ والتعبيرات الواردة في المسالة
-فهم العلاقات العامة في المسالة والعلاقات داخل كل جزء منها على حده
-القدرة على التعبير عن مضمون المسالة بلغة الطالب
-تصور المسالة تصورا ذهنيا وتمثيلها بالمحسوسات والأشكال الهندسية كلما أمكن0
وبصفة عامة
حتى يمارس الطلاب أساليب التفكير السابقة من خلال دراسة الرياضيات يحاول معلم الرياضيات تحقيق ما يلي :
1) ممارسة الطالب لأساليب التفكير المختلفة السابقة ممارسة عملية داخل الفصل وخارجه
2) إدراك الطالب لحدود الثقة في النتائج التي يصل إليها باستخدام كل أسلوب من أساليب التفكير .
3) إدراك الطالب للفرق بين القضايا مطلقة التعميم والقضايا محدودة التعميم .
4) تأكد الطالب من صحة القضايا التي يعتمد عليها في تفكيره .
5) مراجعة الطالب للنتيجة التي وصل إليها في ضوء القضايا المعطاة والموثوق في صحتها
6) إن يزود المعلم الطالب بتمارين تحتاج إلى تفكير واستنتاج
7) تنمية موهبة الطالب على البحث وراء الأسباب والتعليلات لما يقرا وتطور حاسة الحدس لديه
Cool تنمية فكرة الابتكار لنظريات جديدة حول بعض المفاهيم الرياضية
9) التأكيد بان الرياضيات ليست مجرد حلول مسائل ولكن علاوة على ذلك فإنها
فلسفة وطريقة تفكير رياضية
الخلاصة
· إن الأساليب السابقة لا يمكن فصلها إذ قد يستخدم المعلم أثناء شرحه أكثر من أسلوب والذي يعنينا أنه عن طريق هذه الأساليب كل منها منفرداً أو باجتماع كل اثنين منها أو أكثر هو إكساب الطلاب التفكير الفعال في مواجهة المشاكل في مجال دراسة الرياضيات.
· أن هذه الأساليب تساعدهم على البرهنة وحل المسائل وهذا يدخل في نطاق الإبداع والاختراع . فالطالب أثناء حله للمسألة يكون كالفنان المبدع إذ يمارس المتعة واللذة والألم التي يمارسها الفنان في عملية الإبداع .
· وتصل عملية الحل إلى قمتها والى ذروتها في اللحظة التي تتجمع فيها العناصر في أماكنها المناسبة في المجال المباشر للتفكير فيظهر الحل فجأة عند هذه اللحظة فإن التحليل يسبقها ويأتي بعدها التركيب .
· بالإضافة إلى ذلك فان التفكير الفعال الذي يمكن أن يكتسبه الطالب عن طريق الأساليب السابقة يساعده في حل مشكلاته اليومية أي لم يعد الأمر يقتصر فقط على استخدام هذه الأساليب في حل مسائل الرياضيات ولكنه يصبح سمة مميزة تلازم الطالب ويستخدمها في حل المشكلات التي تصادفه والتي تحتاج إلى الوصول بواسطة الحقائق المعطاة إلى الهدف عن طريق دراسة الحقائق والعلاقات ودراسة الهدف المطلوب ورسم الخطة لعبور الفجوة بين المعطيات والمطلوب واختيار الوسائل اللازمة لذلك وفي والتأكد من الوصول إلى الهدف المنشود.
